Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer
PREÁMBULO
Elaborar un nuevo libro de Matemáticas en la actualidad no es tarea fácil si se quiere que contenga cierta originalidad. Se han publicado muchísimas obras que abarcan todas las facetas de esta ciencia, y muy poco se puede decir que no se haya tratado en alguno de los textos existentes. No obstante, nos hemos arriesgado a redactar este libro, Estructuras de álgebra multilineal, motivados por varias razones.
La primera y principal ha sido dar un compendio lo más amplio posible de conceptos de álgebra, que se consideran básicos para que el estudiante pueda ampliarlos en otros textos especializados y específicos. Se ha estructurado de manera autocontenida sin descuidar, en ningún momento, el rigor que en Matemáticas se exige, y sin escatimar demostraciones que se requieran para una exposición lógica de la obra. Creemos que los usuarios de este libro pueden estudiarlo sin necesidad de ayuda ajena. En este sentido, se pretende recuperar la figura del «libro del alumno» de antaño y que en la actualidad se ha perdido.
Los temas tratados se han presentado entrelazados de modo coherente, con el fin de que el lector adquiera una visión global y unitaria de las distintas estructuras algebraicas expuestas. En un mundo tan especializado como el presente, es difícil encontrar profesionales del ramo que posean una base amplia de conocimientos, pues prontamente se dedican a estudiar temas concretos que interese en su investigación. Incluso no conocemos ninguna obra, al menos en Lengua Española, que trate tan variados y prolijos temas de modo unitario como la que presentamos. La ventaja para los lectores no iniciados en estructuras algebraicas es que, con la obra presente, no precisan consultar otros libros, en número indeterminado, para conseguir los mismos objetivos que se consiguen con el que proponemos, con el consiguiente ahorro de tiempo. Debido a estas razones y al extenso volumen de la obra, se ha excluido la faceta práctica de los temas desarrollados. Los criterios del autor han sido que existen innumerables textos que se dedican a ello, por lo que los interesados pueden consultarlos sin dificultad; por otra parte, se ha primado el criterio de que el estudiante adquiera un conocimiento global, coherente y estructurado del álgebra multilineal.
También este texto se ha redactado pensando principalmente en la formación de los estudiantes de Matemáticas y de Física. Debido a este objetivo, no se ajusta taxativamente a ninguno de los planes de estudios de ambas carreras. Sin embargo, pretendemos que seauna ayuda inestimable para cada alumno que las curse, pues con su consulta el estudiante podrá adquirir el dominio conceptual de las materias de sus respectivas asignaturas.
Para tal fin, hemos dividido este libro en cinco partes, cada una de las cuales corresponde a una unidad didáctica, de manera que estén relacionadas entre ellas.
La Primera Parte, a modo de introducción, está dedicada a la Teoría de Conjuntos y la construcción de los números. Empezamos por los naturales y, como generalización, estudiamos la cardinalidad de los conjuntos, concepto de suma importancia de que haremos uso para probar algunos resultados de álgebra multilineal. En capítulo aparte, se construyen los números enteros y racionales, previa introducción de algunas estructuras algebraicas simples que ayudan a una comprensión mejor de tales números. En el siguiente capítulo, se aborda la ordenación de los números estudiados hasta el momento y se completa las propiedades de los racionales, dando su expresión decimal. Con el fin de estudiar cómodamente las matrices de Jordan en otro lugar de la obra, nos hemos visto precisados dedicar un capítulo al álgebra de ideales. En él, los Teoremas de Bezout y el teorema Chino del resto ocupan un lugar preponderante. En torno a los mismos, se ha desarrollado las fracciones continuas con el fin de presentar una técnica de resolución de la ecuación diofántica lineal. Finalmente en el Capítulo 7, se estudia el número real, a partir de las propiedades de las sucesiones de Cauchy. Terminamos con una breve referencia a los números complejos, y analizamos la cardinalidad de los reales y de los complejos.
Se ha tratado con bastante extensión y profundidad la construcción de sistemas numéricos, pues consideramos que es lo suficientemente importante como para que el futuro matemático o físico esté familiarizado en ella, así como que conozca las propiedades de los transfinitos con sus hipótesis del continuo. No obstante, el lector, al que no le interese conocer la construcción de los números, puede empezar a leer a partir de la Segunda Parte de la obra, que es donde de hecho comienza a tratarse el álgebra multilineal. Sólo es aconsejable que se estudie previamente las tres primeras secciones del Capítulo 4, y deje el Capítulo 6 cuando aborde las bases de Jordan.
En la Segunda Parte, se expone las propiedades más importantes de la estructura de los módulos, paso previo para desarrollar cómodamente los espacios vectoriales en la unidad didáctica siguiente. Se introduce los conceptos de producto, coproducto y suma directa de módulos, los cuales son necesarios, pongamos por caso, para estudiar las sucesiones exactas escindibles. Ejemplos de este tipo de sucesiones exactas son las formadas por módulos proyectivos y libres. Estos últimos están tratados con cierta extensión, pues por primera vez aparece el importantísimo concepto de base, cuya utilidad es de sobra conocida cuando se trabaja en componentes de «objetos» definidos en espacios vectoriales. Los productos tensorial y exterior están desarrollados con sumo cuidado y detalle. Estos conceptos volverán a ser estudiados en los citados espacios vectoriales y en las álgebras asociativas, lo que darán lugar a las definiciones de tensor y de formas exteriores.
Los llamados tensores y formas exteriores, conocimientos indispensables para el científico moderno, constituyen la materia central de la Tercera Parte de la obra. Las formas exteriores, definidas en espacios vectoriales, forman un álgebra exterior, cuyo producto es el de Grassmann. Es tal la importancia que va adquiriendo este cálculo, que, en corroboración de ello, se dedica un capítulo a los espacios simplécticos, pues estas estructuras se imponen cada vez más en los desarrollos de la Física Matemática.
En la siguiente unidad didáctica se estudia extensamente los distintos tipos de productos escalares o métricas, indispensables tanto para físicos como para matemáticos que deseen especializarse en Análisis Matemático o en Geometría Diferencial, pues en ella encontrarán (probadas) las propiedades de las formas hermíticas, formas cuadráticas (con una breve incursión a la clasificación de las cónicas no degeneradas), antiderivaciones en álgebras asociativas, espacios orientados y, en ellos, el operador de Hodge, etc.
Finalmente, los seis últimos capítulos constituyen la Quinta Parte de la obra. Tratan sobre álgebras de Clifford y grupos de spin. Se ha desarrollado con detenimiento, haciendo ver al lector la necesidad de conocer previamente gran parte los temas expuestos en las unidades didácticas anteriores. Con ello se pretende que el estudiante adquiera una sólida base para que pueda abordar los fibrados espinoriales y posea, en consecuencia, un dominio del cálculo espinorial, empleado frecuentemente en Física Teórica. Damos una lista completa de las álgebras de Clifford, en la que los complejos, los cuaterniones, el álgebra de Pauli y la de Dirac forman parte.
Para terminar diremos que en el Diccionario de materias y autores sólo citamos la página en donde aparece el concepto definido. En casos excepcionales se hace referencia a alguna página más cuando de alguna manera en éstas se complementa los conceptos ya tratados. En cambio se ha adoptado el criterio de citar todas las veces que los autores se mencionan en la obra.
Por otra parte, las definiciones, lemas, teoremas, proposiciones y corolarios de un capítulo, citados en el mismo, vendrán impresos en negrita, mientras que si son de otro capítulo se citarán en letra normal. En la terna de números que marcan las ecuaciones y expresiones matemáticas, los dos primeros refieren a la numeración del capítulo donde aparece. Si tales expresiones se hallan marcadas por un par de números, se quiere indicar que no pertenece a ninguna demostración de teorema alguno. El primer elemento del par hace referencia a la sección donde está ubicada en el capítulo, y el segundo corresponde a la ordenación numérica dentro de la sección mencionada. La numeración de definiciones, proposiciones, teoremas, etc. sigue el mismo criterio.
Me considero en deuda con mis compañeras de profesorado, Profs. Amparo Cortés y Pilar Martín, que, de manera desinteresada, revisaron capítulos fundamentales del libro y me aportaron inestimables sugerencias que han contribuido a dar mayor precisión en los conceptos y claridad en las demostraciones.
Dedico