Grundlagen der Funktionswerkstoffe für Studium und Praxis. Janko Auerswald
aus der einachsigen Spannung mit Hilfe der Matrizenmultiplikation nach Voigt
ein dreiachsiger Dehnungstensor
Umgekehrt hängen die Tensoren der mechanischen Spannung σi und der Dehnung ɛj für isotrope Werkstoffe gemäß der Voigt’schen Notation über folgenden Tensor der elastischen Steifigkeiten Cij zusammen:
Der Elastizitätsmodul E, der Schubmodul G und die Querkontraktionszahl v hängen folgendermaßen zusammen:
Die Querkontraktionszahl v ergibt sich bei einachsiger Zugbeanspruchung in x-Richtung als Quotient aus der Normaldehnung senkrecht zur Lastachse (negative Querdehnung in y- oder z-Richtung) und der Normaldehnung in Belastungsrichtung (Längsdehnung in x-Richtung). Das dem Quotienten voranstehende negative Vorzeichen eliminiert das negative Vorzeichen der Querdehnung.
Bei isotropen Materialien besteht unter einachsiger Beanspruchung in Richtung der wirkenden Kraft (im Beispiel oben wäre das die x-Richtung) ein einfacher Zusammenhang zwischen der mechanischen Spannung σ und der Dehnung ɛ über den E-Modul:
Dieses vereinfachte Hooke’sche Gesetz lässt sich aus der obigen Tensorrechnung ableiten.
Tensoren der elastischen Eigenschaften für anisotrope kubische Einkristalle
Für das kubische Kristallsystem (kfz, krz, Diamant- und Zinkblendestruktur), d. h. für einkristalline Materialien wie Silizium für Halbleiter, Galliumarsenid für Laserdioden oder Nickelbasissuperlegierungen für einkristalline Turbinenschaufeln, gelten folgende Zusammenhänge. Die Tensoren der Dehnung ɛi und der mechanischen Spannung σj hängen gemäß der Voigt’schen Notation über den Tensor der elastischen Nachgiebigkeiten Sij zusammen:
Die Tensoren der mechanischen Spannung σi und Dehnung ɛj hängen gemäß der Voigt’schen Notation bei anisotropen einkristallinen kubischen Werkstoffen über den Tensor Cij der elastischen Steifigkeiten zusammen:
Aus diesem Tensor lässt sich auch die Anisotropie oder Richtungsabhängigkeit des E-Moduls ableiten. Für kubische Systeme von Metall-, Halbleiter- oder Ionenkris-tallen ergibt sich der Anisotropiefaktor für den richtungsabhängigen E-Modul zu:
Ist der Anisotropiefaktor größer als 1, so ist der E-Modul in den (111)-Richtun-gen am größten. Dies ist für die meisten kubischen Metalle, wie z. B. Gold, Kupfer, α-Eisen, Nickel, Lithium, Natrium, Kalium oder Aluminium, sowie für viele Halbleiter wie Silizium, Germanium oder Diamant der Fall.
Ist der Anisotropiefaktor nahe bei 1, so verhält sich der E-Modul nahezu isotrop. Dies ist z. B. bei Wolfram der Fall. Ist der Anisotropiefaktor kleiner als 1, so ist der E-Modul in den ⟨100⟩-Richtungen am größten. Dies gilt für die Keramik Titancarbid oder die kubischen Ionenkristalle von Natriumchlorid (Kochsalz) oder Kaliumchlorid.
2.4 Plastische Verformung der Metalle
Die größtmögliche elastische Verformung liegt für die meisten Materialien weit unter 1 % Dehnung. Bei höherer Belastung brechen spröde Werkstoffe. Bei Metallen beginnt bei Überschreiten einer kritischen Last die plastische Verformung durch Versetzungsgleiten. Atome wechseln dabei irreversibel ihre Position. Die zur plastischen Verformung benötigte kritische mechanische Spannung wird je nach Werkstoff als ,,Fließgrenze“, ,,Streckgrenze“ oder ,,0.2 %-Dehngrenze“ bezeichnet. Sie ist ein Festigkeitskennwert und wird in MPa angegeben. Festigkeiten sind ein Maß für die Widerstandsfähigkeit eines Werkstoffes gegen plastische (d. h. bleibende, irreversible) Verformung oder gegen Bruch (bei spröden Werkstoffen ohne plastische Verformung).
Die plastische Verformung in Metallen erfolgt bei Raumtemperatur in der Regel durch Versetzungsgleiten. Versetzungen können unter der Einwirkung einer parallelen (tangentialen) Kraft auf einer Gleitebene durch den Kristall wandern. Bei hypothetisch völlig versetzungsfreien Kristallen geschieht das Abgleiten in einer Gleitebene nur unter sehr hoher Schubspannung (Tangentialspannung), da sämtliche Atome in der Ebene den Gleitschritt synchron vollziehen müssten. Sind hingegen Versetzungen vorhanden, so genügt eine weitaus geringere Schubspannung, um ein Abgleiten zu erreichen. Der Grund liegt darin, dass im Kristall mit Versetzungen das Abgleiten wegen der Versetzungsbewegung stufenweise erfolgt. Die für das Abgleiten erforderliche kritische Schubspannung ist dabei um das 100- bis 1000-Fache geringer als im ungestörten Kristall.
Aber nur für eine einfache Stufenversetzung wie in Abb.2.13 gezeigt stimmen Bewegungsrichtung der Versetzungslinie und Sprungrichtung der Atome an der Versetzungslinie überein. Neben Versetzungssegmenten mit Stufencharakter gibt es auch Segmente mit Schraubencharakter (Abb. 2.14) oder gemischtem Charakter, wo sich die Atome bei der plastischen Verformung in eine andere Richtung bewegen als die Versetzungslinie, wenn diese über sie hinweggeht.
Abb. 2.13 Vereinfachtes Modell der plastischen Verformung durch Versetzungsgleiten: Wanderung einer Stufenversetzung durch einen Kristall. Die Versetzung kann dabei als eingeschobene Halbebene beschrieben werden, deren untere Begrenzung die Versetzungslinie ist, die in der Gleitebene liegt und sich dort weiterbewegt (hier: von links nach rechts). Diese Darstellung reicht für ein vereinfachtes Verständnis der plastischen Verformung in Metallen durch Versetzungsgleiten vollkommen aus.
Abb. 2.14 Bei einer Schraubenversetzung ist die Sprungrichtung der Atome (Burgersvektor) parallel zur Versetzungslinie, anders als bei einer Stufenversetzung. Die Schraubenversetzung spielt beim Ziehen nahezu perfekter Halbleiter-Einkristalle aus der Schmelze als Energiezentrum des Keimkristalls beim Kristallisationsprozess eine Rolle. Dazu wird der Keimkristall langsam aus der Schmelze gezogen und um die eigene Achse gedreht. Die Atome aus der hochreinen Schmelze lagern sich an die Schraubenversetzung wie an eine Wendeltreppe an.
Bei der plastischen Deformation von Kristallen werden fortlaufend neue Verset-zungen gebildet. Diese Versetzungsneubildung führt dazu, dass sich die Versetzungen immer stärker gegenseitig behindern, die Versetzungsbewegung immer schwieriger wird und schließlich ganz zum Stillstand kommt. Die Folge ist eine Verfestigung des Materials aufgrund von Kaltumformung. Anhand einer Analogie lässt sich das Phänomen erklären. Wenn in einem Raum wenig Personen vorhanden sind, so ist die Personenzirkulation einfach. Sind aber sehr viele Personen vorhanden,