El mundo es un pañuelo. Bartolo Luque Serrano
quiere explorar este problema con ayuda de Neil Sloane escriba «3n+1 problem» o hailstone numbers («números granizo») en la página de OEIS, quizá usted tenga más suerte.
CAJA 1: UNO, DOS, TRES, CUATRO...
Esta caja tiene como título lo que se podría llamar una suce-sión de palabras. Podemos «codificar» numéricamente esta sucesión de tal modo que a cada palabra le hagamos corresponder el número de letras que posee. Así, el título de esta caja se convertiría en 3, 3, 4, 6..., y ahora es fácil adivinar el siguiente número que nos pedían.
Éste es un ejemplo clásico de «sucesiones en lenguaje». Podemos ahora hacer lo mismo en portugués o en inglés. ¿Serán parecidas a la española? Es de esperar que lenguas con una raíz común, como el español y el portugués, lenguas románicas, tengan sucesiones numéricas «uno, dos, tres, cuatro...» estadísticamente parecidas. Y que estén relativamente «alejadas» del inglés o el danés, por ejemplo. ¿Podemos utilizar esta medida para recrear un árbol evolutivo de las lenguas?
CAJA 2: SUCESIONES FRACTALES
OEIS nos dice que la sucesión propuesta se denomina Sucesión de Thue-Morse, en honor a dos de sus creadores/descubridores. Nos enseña a generarla: partiendo de 0 o 1 debemos aplicar reiteradamente las siguientes reglas de sustitución: 0 → 01 y 1 → 10. De modo que si comenzamos por 0, obtendremos primero: 01. Aplicando de nuevo las reglas, obtendremos: 0110. Después: 01101001. Y así sucesivamente. El método técnicamente, y de forma muy acertada, se denomina inflación: después de n aplicaciones de las reglas dispondremos de una secuencia de 2n términos. oeis explica también que la sucesión de Thue-Morse aparece en temas tan alejados entre sí como el ajedrez, la teoría del caos o la lingüística combinatoria.Thue-Morse es una sucesión fractal, autosemejante. De forma genérica, una sucesión fractal es aquella que se contiene a sí misma como subsecuencia («el todo está en las partes»). Visto en nuestra serie, si eliminamos por ejemplo los términos pares de una secuencia de 2n términos, habremos eliminado la mitad. Nos quedarán 2n-1 términos. Pero no cualesquiera, sino justamente los 2n-1 términos iniciales. Por ejemplo, los primeros 16 términos son: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0. Si eliminamos los términos pares (señalados en negrita), nos queda: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1. ¡Que son justamente los 8 primeros! Explore ésta y otras sorprendentes sucesiones fractales en oeis escribiendo «fractal» en la entrada.
CAJA 3: PIZZAS Y PASTELES
Seguidamente hemos dibujado cómo obtener los cuatro primeros números del hostelero perezoso. Con un corte, el máximo de trozos posibles es obviamente 2. La estrategia para maximizar con dos cortes es que ambos se crucen entre sí. De ese modo obtenemos 4 trozos. Con un corte más, conseguiremos maximizar los trozos si cortamos de modo que crucemos sobre los dos cortes anteriores en puntos distintos... Y ésa parece ser la estrategia: dispuestos los n-1 cortes que maximizan, obtendremos la solución para n haciendo que el nuevo corte se cruce con los otros n-1 en puntos distintos.
En ecuaciones, podemos escribir: a(n) = a(n-1) + n que con algo de matemáticas se convierte en: a(n) = n (n +1) / 2 + 1.
Tal vez, el lector, como yo, aprendió qué eran las fracciones cortando tartas en la pizarra. Existe un problema emparentado con el hostelero perezoso, pero en vez de pizza usa pastel: se trata de encontrar el máximo número de trozos con n cortes en un pastel. Observe que ahora disponemos de una dimensión extra: la altura del pastel. Los primeros números pastel son: 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299 que como puede observar crecen mucho más rápido que los del hostelero perezoso. ¿Puede hallar en este caso el término general? Una pista: ahora para el pastel puede conseguir trozos íntegramente del «interior», que no contengan ni partes de la superficie, ni de las bases, ni de la superficie lateral. Y si no se sale, ya sabe: ayúdese con OEIS.
Foresta degli elementi, cuadro de Tobia Ravà. Este pintor italiano es heredero de la antigua escuela pitagórica, fi ltrada a través de la tradición hebrea de la Gematría, donde «todo es número». Su obra plasma ese pensamiento en imágenes. Puede disfrutar de todas las ilustraciones de este ensayo y muchas más en su página web: <www.tobiarava.com>.
CAPÍTULO 3
VIDEOITERANDO, VIDEOITERANDO, EL CAOS SE VA ALCANZANDO
¿Qué ocurre si enfocamos una cámara a la pantalla de un televisor que está emitiendo justamente las imágenes que capta la propia cámara? Descubra una ruta televisiva hacia el caos determinista.
En la naturaleza abundan formas y estructuras complejas. Esta imagen es un ejemplo cotidiano. Al contemplar un árbol no advertimos cómo crece, pero su estructura nos sugiere algún mecanismo de desarrollo en ramificaciones sucesivas. Tras su forma intuimos un proceso de generación.
Los cristales de nieve que cubren este árbol no están vivos, pero también «crecen». La forma de los copos de nieve no nos sugiere, en este caso, reglas de crecimiento tan obvias. ¿Serán terriblemente complicadas? Hoy, gracias al estudio de los sistemas complejos, sabemos que no necesariamente. Quizá el mayor impacto de esta nueva visión científica en la corriente general del conocimiento haya sido demostrar qué patrones complejos pueden ser generados por procesos simples.
La intención de este pequeño ensayo es mostrar uno de los procesos simples más comunes capaces de generar complejidad: la iteración, que ilustraremos a partir de unos sencillos experimentos al alcance del lector.
ITERACIÓN
Antes de abordar el experimento propiamente dicho jugaremos con una calculadora para dejar clara la idea de iteración. Introduzca un número en su calculadora y extraiga su raíz cuadrada. Vuelva a extraer al resultado la raíz cuadrada. Hágalo sucesivamente. Está realizando un proceso iterativo. ¿Acaba el proceso en algún valor que no cambia? ¿Siempre e independientemente del número inicial? Observe que, al resultado de aplicar una operación, le volvemos a aplicar la misma operación: estamos iterando. En un proceso iterativo se dispone de una entrada –en este caso un número–, una regla dinámica que nos dice cómo se transforma la entrada –extraer la raíz cuadrada– y una salida –el resultado–. Lo que hace que el proceso se convierta en una iteración es que la salida se reinyecta en el paso siguiente como entrada, cerrando el proceso en un bucle de repetición infinita. Matemáticamente podemos expresar esta iteración como:
xn+1= (xn)1/2
donde xn es el valor en el paso n-ésimo.
Nuestro sencillo experimento con la calculadora nos muestra que siempre que comencemos con un número x0 mayor o igual a 1, la iteración sucesiva acabará en 1. Y si el número x0 se encuentra entre 0 y 1 acabará en 0. Pero no todas las iteraciones producen resultados tan sencillos como en este caso de la raíz cuadrada. De hecho, una iteración aparentemente tan inocente como: xn+1= r xn (1 - xn), donde r se fija con un valor entre 1 y 4, fue piedra fundamental en el estudio del caos determinista. La logística, que es el nombre que recibe la iteración anterior, muestra una riqueza de comportamientos dinámicos inusitada en función del valor que tomemos para el valor r.
Observemos que la iteración con la calculadora es en realidad un proceso simbólico. Son ecuaciones sencillas que generan cadenas de números. ¿Podemos construir un proceso iterativo físico, digamos, de forma tan sencilla?
VIDEORRETROALIMENTACIÓN
El término iteración suele usarse en matemáticas, los ingenie-ros prefieren utilizar la palabra retroalimentación (feed-back) pa-ra referirse al mismo. Vamos a crear un sencillo circuito de re-troalimentación. Necesitamos simplemente una cámara de vídeo y un televisor.
Conecte