Electrónica. Trucos y secretos. Paolo Aliverti
· cos(2π ft + φ)
equivale a:
A · ejφ
Esta última representación se puede denominar fasor y, cuando se trata con las corrientes alternas, simplifica mucho los cálculos. Además, puedo pasar de una sinusoide de forma clásica a un fasor, y viceversa. Sin embargo, a la práctica, cuando se trabaja con fasores, no se tiene en cuenta la amplitud original de la onda sinusoidal, sino que se divide su valor por la raíz cuadrada de 2, porque así se trabaja con el valor efectivo de la sinusoide. El valor efectivo se puede definir para cada magnitud periódica y está relacionado con los valores medios. Si consideramos una sinusoide y la observamos durante un periodo de tiempo, esta tendrá una zona toda positiva y una, idéntica, negativa. Su valor medio es, por tanto, igual a 0, porque la onda es durante tanto tiempo positiva como negativa. Podría parecer que una onda sinusoidal no sea capaz de combinar nada si, al final, tiene un valor medio igual a 0.
Sabemos muy bien que esto no es así, puesto que, si no, en nuestras casas no tendríamos corriente alterna. Por esta razón se utiliza el valor eficaz o RMS (Root Mean Square), que es igual al valor de la corriente continua que produciría la misma disipación de potencia (media) sobre una carga resistiva. Para calcular el valor eficaz de una onda sinusoidal, se necesita calcular el área de la sinusoide al cuadrado, dividida por su periodo, y todo ello bajo una raíz cuadrada. El cálculo proporciona un resultado muy sencillo y familiar para todos los electrónicos:
Operaciones sobre fasores
Hemos definido un fasor y hemos aprendido que corresponde a una representación cómoda para una sinusoide. Cuando utilizamos fasores, debemos basarnos en estas reglas.
Producto de un fasor por una constante
Una tensión sinusoidal s1(t) corresponde a un fasor A1. Si multiplico (o amplifico) la sinusoide s1(t) por n veces, obtengo que también la amplitud del fasor se amplificará con la misma magnitud y será igual a:
Suma de fasores
Si tengo dos magnitudes sinusoidales s1 y s2, puedo sumarlas y obtener:
S3(t) = S1(t) + S2(t)
La suma no cambia si utilizamos los fasores:
Derivada de un fasor
En las fórmulas electrónicas, a menudo hay que tener en cuenta la variación de la señal. Si tengo s1(t), me podría interesar conocer la rapidez con que cambia la señal en el tiempo, lo que equivale a saber la pendiente de la curva. En muchas fórmulas electrónicas, es necesario calcular este tipo de variaciones. Por ejemplo, al estudiar los condensadores observamos que la corriente que pasa por ellos es proporcional a la variación en el tiempo de la tensión en las placas. La variación de la tensión en el tiempo es comparable a la pendiente de la curva. Cuando queremos medir la pendiente de una calle, medimos cuánto sube y a lo largo de qué distancia. Con las dos medidas podemos determinar la pendiente, que, por último, se puede expresar como porcentaje. Cuando, mientras conducimos, nos encontramos con un cartel que indica que la pendiente de la carretera es del 10 %, significa que la carretera subirá como mínimo 10 m por cada 100 m que recorramos.
Figura 1.26 – Cartel que indica una pendiente del 10 % y grafía para el cálculo de la pendiente.
Para medir la pendiente, debemos medir dos intervalos, uno a lo largo del eje x y otro a lo largo del eje y. Estos intervalos también se conocen como delta y se escriben así:
Δt = t2 − t1
Imaginemos que tomamos un intervalo muy pequeño, y reducimos al máximo la distancia de los dos puntos. Supongamos que llevamos esta distancia prácticamente hasta 0. En matemáticas, esta operación equivale a calcular el límite, llevar la distancia entre dos puntos de forma ideal hasta 0. En esta condición cambia también la manera de escribir la delta, que es prácticamente infinitesimal. Así, escribiremos lo siguiente:
dt
Para indicar que estamos derivando una función respecto a una de sus variables, por ejemplo, una función que dependa del tiempo t, escribiremos:
Para calcular la derivada de una función cualquiera, se necesitan algunos conocimientos de análisis matemático. El procedimiento no es complicado, aunque es preciso recordar algunas reglas sencillas que podemos consultar en un libro de matemáticas. Por ahora basta con haber comprendido (o recordado) que la derivada de una función equivale a calcular una nueva función que representa la pendiente de la función de partida punto por punto.
Volviendo a las sinusoides y los fasores, si tenemos una sinusoide:
s1(t) = A · cos(2π ft + φ)
o:
s1(t) = A · cos(ωt + φ)
utilizando:
2π f = ω
y queremos calcular su derivada:
observamos que, pasando a los fasores, obtenemos:
Si tenemos en cuenta que los fasores se caracterizan por una distancia y un ángulo, se pueden trazar gráficamente. El resultado que hemos obtenido corresponde a rotar el fasor 90°. Esta información nos servirá más adelante, cuando apliquemos la sinusoide a componentes electrónicos como condensadores e inductancias.
Ley de Ohm en corriente alterna
La ley de Ohm se aplica también en circuitos alimentados con corriente alterna. Podemos imaginar que tenemos un generador que produce una tensión alterna y lo aplicamos a una resistencia R con un simple circuito, como el que se muestra en la figura 1.27.
Figura 1.27 – Generador sinusoidal conectado a una resistencia R.
La señal utilizada será:
V1(t) = V · cos(2π ft)
La corriente que circula en el circuito se puede determinar simplemente con la ley de Ohm:
Podemos observar que tanto la expresión de la tensión como la de la corriente tienen la misma forma, ambas son cosenos, con la misma frecuencia. Por tanto, tenemos dos ondas simples sincronizadas, es decir,