Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf
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a. Fórmula del capital inicial
Simplemente, el capital inicial se obtiene descontando por n períodos el monto o capital final. Por caso, un capital final de 150 €, que fue obtenido con una tasa de interés del 10 % al cabo de 5 períodos, tiene hoy un valor de:
b. Fórmula de la tasa de interés
Esta fórmula es muy intuitiva, ya que se aplica muchas veces de manera automática para obtener porcentajes de rendimiento, aunque no se concozca su naturaleza. Piense por un momento que usted vende un bien a 150 € que adquirió cierto tiempo atrás por 120 €. El tiempo que media representa el período de la operación que para nosotros será igual a 1 (1 mes, 1 bimestre, un período de cierta cantidad de días, no importa realmente cuánto tiempo, para nosotros representa un período en este caso). Ahora supongamos que usted quiere conocer el porcentaje de rendimiento de esa operación. El cálculo intuitivo es tomar los 150, dividirlo por 120 y restar el 1 (uno):
Pues bien, la tasa de interés se calcula de esa forma, ya que representa la fórmula que resulta de obtener la tasa a partir de la fórmula del monto:
Si n = 1 y pasamos restando el 1, tenemos la fórmula que tantas veces se utiliza para calcular rápidamente un porcentaje de rendimiento:
c. Fórmula del número de períodos
Simplemente, observe que el numerador de la fórmula representa el interés acumulado, de forma tal que también puede escribirse:
d. Fórmula del interés acumulado
Para un capital inicial de C0, el valor de I(0,n) representa el valor absoluto del interés acumulado, y estará dado por la relación: I(0,n) = C0in, que quiere decir que ganamos «n veces la tasa de interés sobre el capital». Por ejemplo, 100 euros colocados durante 10 períodos al 5 % representan un interés acumulado de 50 €:
I(0,10) = 100 × 0,05 × 10 = 50
La fórmula del interés acumulado también puede razonarse como la diferencia entre el monto y el capital inicial:
I(0,n) = Cn − C0 = C0 (1 + in) − C0 = C0 + C0in − C0 = C0in
O como la suma de todos los intereses periódicos:
I(0,n) = I(0,1) + I(1,2) + … + I(n − 1,n) = C0i + C0i + … C0i = C0in
En el régimen simple, las tasas siempre se suman.
e. Fórmula del monto a interés simple cuando cambia la tasa de interés y rigen por períodos irregulares
En la práctica, la tasa de interés no es constante, y también es posible que cada tasa se gane por períodos de tiempo diferentes; en este caso, no podemos utilizar la fórmula genérica del interés simple, puesto que la tasa es posible que se haya modificado mensualmente. En ese caso, desarrollaremos un factor de capitalización sumando las distintas tasas i1, i2... in, para los diferentes períodos de tiempo, (en el caso de que sean diferentes, los llamaremos p1, p2... pn). La fórmula resultante es:
Cn = C0 (1 + i1p1 + i2p2 + ... + inpn)
Ejemplo 1: se depositaron 100 € durante 3 meses con las siguientes tasas de interés: primer mes = 2 %; segundo mes = 4 %; tercer mes: 6 %. Se desea saber el monto de la operación:
Cn = 100 (1 + 0,02 + 0,04 + 0,06) = 112
Ejemplo 2: se depositaron 100 € durante 3,5 meses con las siguientes tasas de interés: primer mes = 2 %; segundo mes = 4 %; por los últimos 45 días se obtuvo el 6 % mensual. Se desea saber el monto de la operación:
Cn = 100 (1 + 0,02 + 0,04 + 0,06 × 1,5) = 115
Tasa proporcional en el interés simple
En la práctica, es común que se realicen operaciones de plazo fijo pactando una tasa nominal que llamaremos j(m), pero que los intereses capitalicen en forma subperiódica; en ese caso, debemos proporcionar la tasa nominal en el momento en el que capitalizan los intereses.2 La tasa nominal es solo la tasa de pacto de la operación, sirve como referencia para el cálculo de la tasa efectiva de la operación. Así, es posible tener una tasa nominal anual, pero que capitaliza semestralmente, es decir, los interés se capitalizan a los seis meses, antes de llegar al año. Para obtener la tasa proporcional, simplemente dividimos la tasa nominal por el número de subperíodos de capitalización; que denominamos m:
Un punto importante es que la tasa proporcional obtenida a partir del dato de la tasa nominal es, a la vez, una tasa efectiva para el período de capitalización considerado; por ejemplo, una tasa nominal anual del 12 % que capitaliza semestralmente, arroja una tasa semestral del 6 %, que es a la vez una tasa efectiva y proporcional, pues representa el rendimiento que efectivamente se obtuvo al cabo de un semestre:
Resumiendo, la diferencia importante entre la tasa nominal y la tasa proporcional subperiódica es la no coincidencia de la unidad de tiempo en que está expresada la tasa de interés (nominal) con el período de capitalización. Otro detalle por observar es que, en el régimen simple, las tasas son al mismo tiempo proporcionales y equivalentes. Recuerde que en el interés simple las tasas se suman, de forma tal que da lo mismo ganar un 6 % en un semestre que el 12 % en el año. En el próximo capítulo veremos que no es lo mismo en el régimen compuesto, donde las tasas son solamente «equivalentes».
¿Año de 360 días o año de 365 días?
En algunos contratos de operaciones financieras, dependiendo de la legislación de cada país, se utiliza el año civil de 365 días, por lo que la tasa proporcional que resulta es ligeramente menor que la que obtendríamos con un año de 360 días; por ejemplo, para el caso anterior la tasa de 180 días sería:
En la práctica, el cálculo suele hacerse como 0,12 × 180 / 365, que resulta más rápido cuando se utiliza una calculadora de bolsillo. La consideración de los días contenidos en el año nos lleva al tema del interés exacto.
Interés civil y comercial
Los mercados financieros exhiben algunas discrepancias con respecto