Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II. Денис Владимирович Соломатин
этим данным. Расстояние на дереве от
Если бы было больше таксонов, то пришлось бы сделать больше шагов для завершения процесса UPGMA, но не было бы никаких принципиально новых действий. На каждом шаге объединяем два ближайших таксона или группы вместе, всегда размещая их на равных расстояниях от общего предка. Затем сворачиваем объединенные таксоны в группу, используя усреднение для вычисления расстояния от этой группы до таксонов и групп, которые еще предстоит объединить. Один момент, с которым следует быть особенно осторожным, заключается в том, что при вычислении расстояний между двумя группами нужно усреднить все расстояния от членов одной группы до членов другой – если одна группа имеет
Обратите внимание, что предположение о молекулярных часах неявно присутствовала в UPGMA. В примере, когда поместили
Вторым рассмотрим алгоритм Фитча-Марголиаша. Этот метод немного сложнее, чем UPGMA, но основан на том же подходе. Тем не менее, попытаемся отказаться от предположения UPGMA о молекулярных часах.
Прежде чем изложить алгоритм, сделаем несколько математических наблюдений. Во-первых, если попытаемся поместить 3 таксона на некорневое дерево, то будет только одна топология, которую необходимо учитывать. Кроме того, для 3 таксонов можем назначить желаемые длины ребер, чтобы точно соответствовать данным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим дерево на рисунке 5.9. Если есть некоторые данные о расстоянии
Эти уравнения могут быть решены либо путем записи системы в виде матричного уравнения и нахождения обратной матрицы, либо путем подстановки формулы для одной переменной, полученной из одного уравнения, в другие. Любой способ гарантированно приведёт к следующему решению
Рисунок 5.9. Некорневое 3-таксонное дерево.
Будем называть эти формулы 3-точечными формулами для подгонки таксонов к дереву. К сожалению, с более чем 3 таксонами точная подгонка данных к дереву обычно невозможна. Однако алгоритм Фитча-Марголиаша (кратко называемый в таблицах как FM) использует случай 3 таксонов для обработки большего количества таксонов. Теперь объясним работу алгоритма на примере. Будем использовать данные о расстоянии, приведенные в таблице 5.4.
Таблица 5.4. Расстояния между таксонами