Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей. Алексей Семихатов
функцию времени – и, например, узнать размер вклада через 1000 дней. Часто (хотя и не всегда) в задачах про такое поведение нет «зернистости» в виде фиксированного отрезка времени («дня»): считается, что функция изменяется непрерывно, и формулировка уравнений к этому приспособлена (такие уравнения называются дифференциальными, что примерно означает «имеют дело с очень малыми изменениями»). Пример поведения – координаты тела, движущегося в пространстве; чтобы задать его траекторию, требуются три функции времени – по одной для каждой из координат. Когда тела движутся под действием каких-либо сил, эти функции не произвольны, а определяются уравнениями движения.
Рис. 1.7. Конические сечения
Уравнения, которые выражают законы природы, описывают точную (количественную) связь между какими-то величинами. Такие уравнения позволяют делать предсказания о поведении и свойствах изучаемых систем. Когда предполагается наличие в природе какой-либо связи, сопоставление предсказаний с наблюдениями служит для отбора тех уравнений, которые приводят к более точным предсказаниям. Несколько упрощая, можно сказать, что таким образом и формулируются работающие законы природы.
Конические сечения. Орбиты трех типов – эллипс (становящийся окружностью в частном случае), парабола и гипербола – объединены самим фактом того, что они и только они (кроме еще тривиального случая прямой линии) являются траекториями движения тел под действием притяжения одного центра. Они же объединены свойством совершенно иного типа: они и только они (и в специальном случае – прямая) возникают как пересечение плоскости и конуса. Конус – это поверхность, которая образуется, если свернуть в воронку лист бумаги, но с одним уточнением: математический конус продолжается по обе стороны от вершины, как видно уже на рис. 1.7a. Если теперь пересечь конус плоскостью, которая перпендикулярна оси симметрии, то в сечении получится окружность. Наклоняя плоскость, мы получаем в сечении разнообразные эллипсы – всё более вытянутые по мере того, как наклон плоскости увеличивается (рис. 1.7b), – до тех пор, пока наклон не станет таким же, как наклон образующей конуса. В этом случае (рис. 1.7c) в сечении получается парабола (в некотором роде, как мы говорили, эллипсов много, а парабола одна; здесь эта идея выражается в том, что парабола возникает при точно обозначенном угле). Наклоняя плоскость еще сильнее, получаем в сечении гиперболы – разные в зависимости от угла наклона (рис. 1.7d). Здесь требуется небольшое пояснение: каждая гипербола имеет две части, потому что плоскость задевает и верхнюю, и нижнюю половины конуса. Говоря о гиперболе как о траектории движения, имеют в виду одну ее половину (которую тогда тоже называют гиперболой).
Почему три вида кривых, и только они, оказались решением двух столь различных задач (задача Кеплера и конические сечения) – вопрос, который нельзя было не задать некоторое число раз за те триста с лишним лет, как этот факт