Марксизм. Владимир Ленин
мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные a и b, x и y, постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума, а именно – до мнимых величин. Точно так же выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их рациональную взаимную связь. Прежде чем прийти к мысли выводить форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, нужно было исследовать некоторое количество реальных прямоугольников и цилиндров, хотя бы и в очень несовершенных формах. Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики. Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так было с обществом и государством, так, а не иначе, чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, – и как раз только поэтому и может вообще применяться.
Подобно тому как г-н Дюринг воображает, что из математических аксиом, которые с чисто логической точки зрения не допускают обоснования, да и не нуждаются в нем», можно без всякой примеси опыта вывести всю чистую математику, а затем применить ее к миру, – точно так же он воображает, что он в состоянии сначала создать из головы основные формы бытия, простые элементы всякого знания, аксиомы философии, из них вывести всю философию, или мировую схематику, и затем высочайше октроировать эту свою конституцию природе и человечеству. К сожалению, природа вовсе не состоит из мантёйфелевских пруссаков 1850 года[40], а человечество состоит из них лишь в самой ничтожной части.
Математические аксиомы представляют собой выражения крайне скудного умственного содержания, которое математике приходится заимствовать у логики. Их можно свести к следующим двум:
1. Целое больше части. Это положение является чистой тавтологией, ибо взятое в количественном смысле представление «часть» уже заранее относится определенным образом к представлению «целое», а именно так, что «часть» непосредственно означает, что количественное «целое» состоит из нескольких количественных «частей». От того, что так называемая аксиома вполне определенно это констатирует, мы ни на шаг не подвинулись вперед. Эту тавтологию можно даже до известной степени доказать, рассуждая так: целое есть то, что состоит из нескольких частей; часть есть то, что, будучи взято несколько раз, составляет целое; следовательно, часть меньше целого, – причем пустота содержания еще резче подчеркивается пустотой повторения.
2. Если
Намек на рабскую покорность пруссаков, принявших конституцию, которая была октроирована («дарована») королем 5 декабря 1848 года одновременно с разгоном прусского Учредительного собрания. Конституция, в выработке которой принимал участие реакционный министр Мантёйфель, была окончательно одобрена Фридрихом-Вильгельмом IV 31 января 1850 года.