Все науки. №1, 2023. Международный научный журнал. Ибратжон Хатамович Алиев
цифрой, отсюда и название – Диагональный метод Кантора, который доказывает, что между 0 и 1 есть больше рациональных чисел, чем всех натуральных. Получается, что бесконечности могут быть разными, откуда и вытекают понятия континуума, а также счётного и несчётного множества. И признаться, эта работа стала не плохим стрессом для математиков того времени, ибо уже на протяжении 2000 лет считавшаяся идеальной Евклидова геометрия, итак, переживала трудные времена благодаря Лобачевскому и Гауссу, открывшие неевклидову геометрию, это приводило к плохому определению предела – основам математического анализа.
А теперь господин Кантор решил внести и свой вклад в эти процессы, показывая, что бесконечность гораздо сложнее чем казалось. Из-за этого разгорелись не малые споры, поделив математиков на 2 лагеря – интуиционистов, которые считали, что работа Кантора кошмарны, а математика – это изобретение человеческого ума, а Канторовы бесконечности не могут просто быть. К большому сожалению, к ним относился и Анри Пуанкаре, написавший: «Потомки прочитают о теории множеств, как о хвори, которую им удалось побороть», а Леопольд Кроникер называл Кантора учёным-шарлатаном и растлителем молодых умов. А также старательно мешал его карьере.
Им противостояли формалисты, которые считали, что теория множеств поставит математику на чисто логическую основу. И их не официальным лидером был немецкий математик Дэвид Гильберт, в то время ставший живой легендой, с работами практически во всех сферах математики, создав концепции, ставшие основой квантовой механики, и он прекрасно знал, что работа Кантора гениальна. Ведь такая идея, строгой и чёткой системы доказательств, опирающаяся на теорию множеств смогла бы решить все математические трудности, и многие с ним соглашались. Это также доказывают его слова: «Никто не сможет изгнать нас из Рая, который создал Кантор».
Но в 1901 году Бертран Рассел указал на серьёзную проблему в теории множеств, ведь если множество может содержать что угодно, оно также содержит и другие множества и даже себя. К примеру, множество всех множеств, должно содержать и себя, как и множество множеств с более чем 5-ю или 6-ю элементами или множество всех множеств, содержащих себя. И если это принять, получается странная проблема, ведь как поступить с множеством всех множеств, которые себя не содержат?
Ведь если это множество не содержит себя, оно должно содержать себя, а если оно не содержит себя, то по определению, оно должно содержать себя. Получается парадокс само-референции, где множество содержит себя, только если оно себя не содержит и не содержит себя, только когда содержит. Но более популярна его аллегория, с городом, где живут одни мужчины и брадобрей должен брить только тех мужчин, которые не бреются сами, но сам брадобрей тоже мужчина и там же живёт. Но если он не бреет себя, значит его должен брить брадобрей, но он не может брить себя, поскольку он не бреет тех, кто бреется сам,