Форма реальности. Джордан Элленберг
target="_blank" rel="nofollow" href="#i_017.jpg"/>
Если у вас педантичное настроение, вы можете возразить, что это не окружность; возможно, у вас есть линейка и вы проверяете, что расстояние от предполагаемого центра до каждой точки предполагаемой окружности вовсе не одинаково. Ладно, соглашаюсь я, но, когда мы говорим о числе дырок в круге, это неважно. В этом отношении я следую примеру самого Пуанкаре, который – в соответствии со своим изречением и своим ужасным почерком – рисовал фигуры отвратительно. Его ученик Тобиас Данциг вспоминал: «Окружности, которые он рисовал[81] на доске, были чисто формальными, они напоминали настоящие только тем, что были замкнутыми и выпуклыми»[82].
Для Пуанкаре и для нас все это – окружности.
Даже квадрат – это окружность![83]
И эта дурацкая загогулина – тоже[84].
Но вот это не окружность,
потому что в ней есть разрыв. Разорвав окружность, я совершил нечто более необратимо жестокое, нежели сминание, сгибание и даже загибание углов. Я действительно изменил ее форму, превратив в плохо начерченный отрезок вместо плохо начерченной окружности, и перешел от объекта с дырой внутри к объекту без дыры.
Вопрос об отверстиях в соломинке кажется топологическим вопросом. Нужно ли двум математикам знать точные размеры соломинки, действительно ли она прямая и представляет ли ее поперечное сечение идеальный круг, который одобрил бы Евклид? Конечно же, нет. На каком-то уровне они понимают, что от этих вещей при достижении их целей можно спокойно отказаться.
Но что останется, когда вы от них откажетесь? Пуанкаре советует нам взять соломинку и укорачивать, укорачивать и укорачивать ее. Однако для него это все та же соломинка. Очень скоро она превратится в узкую полоску пластика.
Можно пойти дальше и разогнуть стенки наружу, чтобы получилась плоская фигура на странице книги.
Официальное геометрическое название такой фигуры, заключенной между двумя окружностями, – кольцо, хотя вы можете считать это грампластинкой, или летающим кольцом Aerobie, или чакрамом – индийским метательным оружием XVII века с острым, как бритва, внешним краем. Как бы вы его ни назвали, это все равно плохо нарисованная соломинка и у нее всего одно отверстие.
Если топология настаивает, что в соломинке всего одно отверстие, то что она говорит насчет штанов? Мы можем укоротить их, как делали с соломинкой. Сначала они станут шортами, а потом и стрингами. Когда я разложу стринги на странице книги, которую вы читаете, вы увидите двойное кольцо,
в котором явно два отверстия. Итак, мы пришли сейчас к заключению, что у соломинки одно отверстие, а у штанов – два.
Но проблемы еще не закончились. Если в штанах два
Окружности, которые он рисовал: Dantzig, Henri Poincaré, 3.
Термин «выпуклый» означает примерно «выгибающийся только наружу, а не внутрь». Подробнее об этом – в главе 14, где мы встретимся с еще более вычурными формами избирательных округов.
Точнее, так: квадрат – это окружность, если нас интересуют топологические вопросы, например: сколько отверстий в фигурах, которые они ограничивают, или на сколько частей распадаются такие фигуры. Если же вас волнуют вопросы вроде «сколько касательных можно провести к кривой в одной точке», то квадрат и окружность сильно отличаются.
Хотя эта фигура не является всюду выпуклой.