Вторая эра машин. Работа, прогресс и процветание в эпоху новейших технологий. Эрик Бриньолфсон
удвоение количества трибблов – происходило все время, без перерывов или ускорения. И самое интересное в «подарке», который Эрик сделал Энди, как раз и заключается в этом постоянном экспоненциальном росте. Чтобы сделать его более очевидным, мы должны изменить интервал между числами на графике.
Созданный нами график имеет стандартное линейное масштабирование; каждый сегмент вертикальной оси обозначает дополнительные 2000 трибблов. Такая разметка отлично служит множеству целей, однако, как мы видели, не позволяет адекватно передавать динамику экспоненциального роста. Чтобы сильнее выделить ее, давайте изменим шкалу на логарифмическую, в которой каждый отрезок вертикальной оси соответствует 10-кратному увеличению количества трибблов: сначала с 1 до 10, потом с 10 до 100, потом со 100 до 1000 и так далее. Иными словами, мы масштабируем ось по степеням числа 10, или порядкам.
Логарифмические графики обладают прекрасным свойством: они изображают экспоненциальный рост в виде идеально прямой линии. Вот как выглядит рост семейства трибблов Энди при применении логарифмической шкалы:
Рис. 3.2. Трибблы по прошествии времени: сила постоянного удвоения
Такое графическое представление подчеркивает стабильность удвоения со временем намного лучше, чем большие цифры в конце. Именно по этой причине мы часто используем логарифмические шкалы для графиков удвоения и отображения других примеров экспоненциального роста. Они выглядят как прямые линии, и для них намного проще рассчитать скорость развития; чем больше экспонента, тем быстрее они растут и тем более крутым становится наклон линии.
Обедневшие императоры, обезглавленные изобретатели и вторая половина шахматной доски
Наш мозг не так уж хорошо оснащен для того, чтобы понимать суть устойчивого экспоненциального роста. В частности, мы серьезно недооцениваем, насколько сильно могут вырасти цифры. Изобретатель и футуролог Рэй Курцвейл пересказывает в этой связи одну старую историю. Игра в шахматы зародилась на территории современной Индии в VI веке н. э., во времена империи Гупта.[70] Говорят, что она была изобретена одним очень умным человеком, который отправился в столицу империи, город Паталипутру, и показал свое творение императору. Властителю так понравилась сложная и красивая игра, что он тут же попросил изобретателя сказать, какую награду тот хочет за нее получить.
Изобретатель поблагодарил императора за щедрость и сказал: «Все, что мне нужно, – это немного риса, чтобы прокормить семью». Поскольку щедрость императора была напрямую связана с изобретением шахмат, то изобретатель предложил воспользоваться шахматной доской для определения причитающегося ему объема риса. «Положите одно зерно риса на первую клетку доски, два – на вторую, четыре – на третью и так далее, – предложил изобретатель, – так, чтобы на каждой следующей клетке было в два раза больше зерен, чем на предыдущей».
«Да будет так», – ответил император, пораженный такой скромностью изобретателя.
Закон
H. J. R. Murray, A History of Chess (Northampton, MA: Benjamin Press, 1985).