Стратегии решения математических задач: Различные подходы к типовым задачам. Альфред Позаментье
нередко требует довольно запутанного математического аппарата, сложных вычислений, а в некоторых случаях дает неправильный ответ.
Затем мы предлагаем более изящное, или образцовое решение, показывающее, как рассматриваемая стратегия решения задачи приводит к ответу. Обратите внимание на то, что мы разделяем «ответ» и «решение». Решение – это процесс от момента чтения условий задачи до момента получения окончательного ответа и его осмысления. Некоторые говорят, что конкретный ответ – это всего лишь одна из наименее важных частей решения. Да, должно быть, так и есть, но процесс, в результате которого получается ответ, является критической частью решения.
По мере того, как вы будете читать эту книгу (и, мы надеемся, прорабатывать предложенные задачи), учитывайте, что во многих случаях для решения задачи можно использовать несколько стратегий. Например, решение задачи с применением стратегии «обоснованное предположение и проверка» обычно требует организации данных в определенном порядке. Когда такое происходит, мы переносим задачу в более подходящую, на наш взгляд, главу.
Каждую главу в этой книге мы начинаем с описания конкретной стратегии, показывающего, как ее можно использовать в каждодневных ситуациях, а затем приводим примеры применения в математике. После этого мы представляем ряд задач, которые лучше всего решаются с помощью именно этой стратегии. Каждая задача – это попытка проиллюстрировать применение конкретной стратегии. В число стратегий, которые мы собираемся рассмотреть, входят:
1. Логическое рассуждение.
2. Распознавание закономерности.
3. Действие от обратного.
4. Принятие другой точки зрения.
5. Анализ экстремальных ситуаций.
6. Решение более простой аналогичной задачи.
7. Организация данных.
8. Схематичное изображение, или визуальное представление.
9. Учет всех возможностей.
10. Обоснованное предположение и проверка.
Как мы уже говорили, редко когда задачу можно решить единственным способом. Решение, которое мы демонстрируем, представляет собой всего лишь один иллюстративный пример. Мы предлагаем читателю попытаться найти другие решения, возможно, более интересные и необычные. Если это вам удастся, мы скажем, что вы молодец! Кроме того, в некоторых случаях, когда доступно несколько стратегий, можно с разным успехом использовать их сочетания.
Чтобы показать, как можно подойти к задаче (и решить ее) с использованием различных стратегий, мы обычно даем несколько решений.
Задача
В комнате, где находятся 10 человек, все поздоровались друг с другом, однократно пожав руку. Сколько всего было рукопожатий?
Решение 1
Воспользуемся стратегией визуального представления и построим схему. В ней 10 точек (которые расположены так, что никакие три из них не находятся на одной прямой), представляющих 10 людей. Начнем с человека, представленного точкой А.