Путешествие в квантовую механику. Гарри Дипрай
подход для решения дифференциальных уравнений в частных производных, который содержит в себе аналитическое описание результата искомой функции и численный метод эволюции её во времени. Подобные численные методы уже существуют, но они чаще всего не являются по своей природе аналитическими, поэтому мне хочется обобщить предыдущие знания с помощью нового подхода.
Интерполяция рядами Фурье
Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье в одномерном случае. Преобразуем его в качестве набора линейных функций, отображаемых на участке (kΔx, (k+1)Δx) вдоль оси x на отрезке (0,R), где Δx есть шаг между линейными комбинациями Fk, а k – это номер вычислительной операции, k принадлежит N, R – координата крайнего граничного условия, противоположно 0:
Тригонометрический ряд для произвольной дифференцируемой кусочно-линейной функции F(x,y) на отрезках (kΔ x, (k+1)Δx) для x и (jΔy, (j+1)Δy) для y:
Для трёхмерного случая x принадлежит (0,Rx), y принадлежит (0,Ry), z принадлежит (0,Rz), где: Rx,Ry,Rz – координаты граничных условий:
Так для функций F(x,y,z), F(x,y), F(x) из выбранных систем координат на отрезках (hΔxg, (h+1)Δxg) где g – индекс координаты, а h – номер итерации, выстраивается произвольная кривая или поле дифференцируемых произвольных функций.
Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных
Пусть Q принадлежит C, что является решением произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Обозначим функции a,b, как вещественную и мнимую часть тождества Q=a+ib соответственно. Для примера квазианалитического метода выберем дифференциальное уравнение, численный метод которого состоит в использовании метода Эйлера. Заметим, что это не единственный применяемый способ решения, но в рамках данной книги остановимся на нём как на простом и более наглядном. Общий вид дифференциального уравнения в частных производных:
ReD и ImD – вещественная и комплексная часть функции D.
Выразим через ряд Фурье решение Q:
Частные производные порядка s по координате xi в D:
Здесь ni и Ri – коэффициенты при координате xi.
В случае расходимости ряда (3.2) применяется следующее преобразование:
Поле для каждой точки ∂sQ/∂xs строится согласно уравнению (3.3). Затем выполним пересчёт для D (если D нелинейно) таким образом, что каждой выбранной точке в D ставится в соответствие отрезок (hΔxg, (h+1)Δxg) как предложено в разделе “Интерполяция рядами Фурье”:
Рассмотрим частную производную решения по времени:
Вместо Q0 подставляется Q из тождества (3.1).
a1 и b1 указывают на новую итерацию во времени Δt для решения дифференциального уравнения Q. Тогда:
В этом тождестве имеется общий член exp(iπnx/Rx+iπmy/Ry+iπlz/Rz)/(RxRyRz), его можно упустить, следовательно:
Тогда для вещественной части:
для мнимой части уравнения:
В следующей итерации по времени в качестве решения Q подставляется тождество Q1:
Производится переход к уравнению (3.1), пока не будет достигнуто