Путешествие в квантовую механику. Гарри Дипрай

Путешествие в квантовую механику - Гарри Дипрай


Скачать книгу
подход для решения дифференциальных уравнений в частных производных, который содержит в себе аналитическое описание результата искомой функции и численный метод эволюции её во времени. Подобные численные методы уже существуют, но они чаще всего не являются по своей природе аналитическими, поэтому мне хочется обобщить предыдущие знания с помощью нового подхода.

      Интерполяция рядами Фурье

      Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье в одномерном случае. Преобразуем его в качестве набора линейных функций, отображаемых на участке (kΔx, (k+1)Δx) вдоль оси x на отрезке (0,R), где Δx есть шаг между линейными комбинациями Fk, а k – это номер вычислительной операции, k принадлежит N, R – координата крайнего граничного условия, противоположно 0:

      Тригонометрический ряд для произвольной дифференцируемой кусочно-линейной функции F(x,y) на отрезках (kΔ x, (k+1)Δx) для x и (jΔy, (j+1)Δy) для y:

      Для трёхмерного случая x принадлежит (0,Rx), y принадлежит (0,Ry), z принадлежит (0,Rz), где: Rx,Ry,Rz – координаты граничных условий:

      Так для функций F(x,y,z), F(x,y), F(x) из выбранных систем координат на отрезках (hΔxg, (h+1)Δxg) где g – индекс координаты, а h – номер итерации, выстраивается произвольная кривая или поле дифференцируемых произвольных функций.

      Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

      Пусть Q принадлежит C, что является решением произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Обозначим функции a,b, как вещественную и мнимую часть тождества Q=a+ib соответственно. Для примера квазианалитического метода выберем дифференциальное уравнение, численный метод которого состоит в использовании метода Эйлера. Заметим, что это не единственный применяемый способ решения, но в рамках данной книги остановимся на нём как на простом и более наглядном. Общий вид дифференциального уравнения в частных производных:

      ReD и ImD – вещественная и комплексная часть функции D.

      Выразим через ряд Фурье решение Q:

      Частные производные порядка s по координате xi в D:

      Здесь ni и Ri – коэффициенты при координате xi.

      В случае расходимости ряда (3.2) применяется следующее преобразование:

      Поле для каждой точки ∂sQ/∂xs строится согласно уравнению (3.3). Затем выполним пересчёт для D (если D нелинейно) таким образом, что каждой выбранной точке в D ставится в соответствие отрезок (hΔxg, (h+1)Δxg) как предложено в разделе “Интерполяция рядами Фурье”:

      Рассмотрим частную производную решения по времени:

      Вместо Q0 подставляется Q из тождества (3.1).

      a1 и b1 указывают на новую итерацию во времени Δt для решения дифференциального уравнения Q. Тогда:

      В этом тождестве имеется общий член exp(iπnx/Rx+iπmy/Ry+iπlz/Rz)/(RxRyRz), его можно упустить, следовательно:

      Тогда для вещественной части:

      для мнимой части уравнения:

      В следующей итерации по времени в качестве решения Q подставляется тождество Q1:

      Производится переход к уравнению (3.1), пока не будет достигнуто


Скачать книгу