Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Matthias Krauß
angeordnet werden (Zwischenknoten). Knoten werden im globalen X-Y-Z-Koordinatensystem (KOS) durch ihre Koordinaten Xk, Yk und Zk gemäß Bild 1.4 definiert. Darüber hinaus werden auf dieses KOS alle globalen Verformungs- und Lastgrößen in den Knoten bezogen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist der Index k bei diesen Größen in Bild 1.4 weggelassen worden.
Bild 1.4 Definition von Verformungs- und Lastgrößen im globalen X-Y-Z-Koordinatensystem
Die Verformungsgrößen im globalen KOS werden durch einen Querstrich gekennzeichnet, der über den Größen steht. Dieser Querstrich wird auch bei Vektoren und Matrizen verwendet, sofern sie für das globale KOS gelten.
Größen in lokalen x-y-z-Koordinatensystemen
Stabelemente werden auf lokale x-y-z-KOS bezogen und als Stabachse die x-Achse durch den Schwerpunkt S definiert. Die Achsen y und z sind die Hauptachsen des Querschnitts. Gemäß Bild 1.5 werden einige Verschiebungs- und Schnittgrößen auf den Schwerpunkt S und andere auf den Schubmittelpunkt M (y = yM, z = zM) bezogen. Für die Wölbkrafttorsion wird eine normierte Wölbordinate ω verwendet.
Bild 1.5 Stab im lokalen Koordinatensystem mit Verschiebungs- und Schnittgrößen
Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte
| x | Stablängsrichtung im lokalen KOS |
| y, z | Hauptachsen in der Querschnittsebene (lokales KOS) |
| ω | normierte Wölbordinate |
| S | Schwerpunkt |
| M | Schubmittelpunkt |
Verschiebungsgrößen
| u, v, w | Verschiebungen in x-, y- und z-Richtung (lokales KOS) |
| φx = ϑ | Verdrehung um die x-Achse |
| φy ≅ −w′ | Verdrehung um die y-Achse |
| φz ≅ −v′ | Verdrehung um die z-Achse |
| ψ ≅ ϑ′ | Verdrillung der x-Achse |
Bild 1.6 Definition positiver Verschiebungsgrößen im lokalen KOS
w′,v′ und ϑ′ sind Ableitungen der Verschiebungsfunktionen nach x, s. Bild 1.6.
Spannungen
| σx, σy, σz | Normalspannungen |
| τxy, τxz, τyz | Schubspannungen |
| σv | Vergleichsspannung |
Bild 1.7. Positive Spannungen
Schnittgrößen
Bei der üblichen Definition positiver Schnittgrößen (Schnittgrößendefinition I) haben die Schnittgrößen an der negativen Schnittfläche Wirkungsrichtungen, die zu den in Bild 1.8 festgelegten Richtungen entgegengesetzt sind. Bei der Schnittgrößendefinition II sind die Wirkungsrichtungen an beiden Schnittflächen wie in Bild 1.8 definiert. Die beiden Schnittgrößendefinitionen sind in Bild 1.9 für einachsige Biegung mit Normalkraft an einem Stabelement dargestellt. Dabei werden, wie bei der FEM üblich, zur Unterscheidung der Stabelemente und Knoten weitere Indizes verwendet.
| N | Längskraft, Normalkraft |
| Vy, Vz | Querkräfte |
| My, Mz | Biegemomente |
| Mx | Torsionsmoment DIN EN 1993: T |
| Mxp, Mxs | primäres und sekundäres Torsionsmoment DIN EN 1993: Tt, Tw |
| Mω | Wölbbimoment DIN EN 1993: B |
| Mrr | siehe Tabelle 4.1 |
| Index el: | Grenzschnittgröße nach der Elastizitätstheorie |
| Index pl: | Grenzschnittgröße nach der Plastizitätstheorie |
| Index d: | Bemessungswert (design) |
Bild 1.8 Schnittgrößen an der positiven Schnittfläche eines Stabes
Bild 1.9 Schnittgrößen am Stabelement „e“ für einachsige Biegung mit Normalkraft, Schnittgrößendefinitionen I und II
Lastgrößen
| qx, qy, qz | Gleichstreckenlasten im lokalen KOS |
| FX, FY, FZ | Einzellasten im globalen KOS |
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mx
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