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= 0,95 zugeordnet, der Ausprägung x2 = 125.000 wird die Wahrscheinlichkeit f(x2) = W(X= x2) = 0,01 zugeordnet, usw.
Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ausprägungen müssen in der Summe 1 (= 100 %) ergeben. In Beispiel 9 ist diese Bedingung erfüllt: 0,95 + 0,01 + 0,025 + 0,01 + 0,005 = 1.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch grafisch dargestellt werden. Bei diskreten Zufallsvariablen bietet sich dazu bspw. ein Stabdiagramm an. Abbildung 4 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Beispiel 9.
Die Annahme, dass die Schadenhöhe im Fall eines Hausbrandes nur fünf Werte annehmen kann, ist selbstverständlich eine Vereinfachung der Realität. Tatsächlich könnte der Schaden natürlich jeden beliebigen, in Euro oder einer anderen Währung darstellbaren, Wert zwischen null und dem Marktwert des Hauses annehmen.
Im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen können stetige Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall jede beliebige reelle Zahl bzw. Ausprägung annehmen. Typische Beispiele für stetige Zufallsvariablen sind Zeitabstände, Strecken und Gewichte, weil zwischen zwei Ausprägungen dieser Variablen immer eine weitere Ausprägung eingefügt werden kann.
In der Finanz- und Versicherungswirtschaft ist zwangsläufig oft mit Geldbeträgen zu rechnen, die nur endlich viele Ausprägungen annehmen können, welche durch die Stückelung der kleinsten Währungseinheiten begrenzt sind. Beispielsweise können in Euro angegebene Preise oder Schäden nur in Cent-Beträge gestückelt werden, sodass nicht mehr als zwei Nachkommastellen zulässig sind. Sollen Geldbeträge durch
Abb. 4: Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariable X (Schadenhöhe) aus Beispiel 9 als Stabdiagramm
Zufallsvariablen beschrieben werden, so müssten sie genau genommen als diskrete Zufallsvariablen dargestellt werden. Weil die Anzahl ihrer möglichen Ausprägungen jedoch sehr hoch ist, werden sie dennoch oft durch stetige Zufallsvariablen beschrieben.
Wahrscheinlichkeiten stetiger Zufallsvariablen werden mittels Dichtefunktionen dargestellt. Abbildung 5 zeigt eine mögliche Dichtefunktion (auch Wahrscheinlichkeitsdichte) der Zufallsvariable Schadenhöhe.
Abb. 5: Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable (Schadenhöhe)
Bei stetigen Zufallsvariablen ist zu beachten, dass auf der Ordinatenachse (Y-Achse) nicht mehr die Wahrscheinlichkeit abgelesen werden kann. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X eine Ausprägung in einem bestimmten Bereich (z. B. im Intervall zwischen 100.000 und 200.000 Euro) annimmt, entspricht der Fläche zwischen der Dichtefunktion f(x) und der X-Achse innerhalb der Intervallgrenzen. Werden die Intervallgrenzen mit den Kleinbuchstaben a und b bezeichnet, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X eine Ausprägung im Intervall [a, b] annimmt, gegeben durch
Abbildung 6 zeigt beispielhaft die Fläche zwischen der Dichtefunktion und der X-Achse in den Grenzen von 100.000 bis 200.000 (Euro).
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ausprägungen muss auch im stetigen Fall wieder eins ergeben, sodass für das Integral über die gesamte Dichtefunktion
gilt.
Abb. 6: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariable
1.3.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Um Verteilungen von Zufallsvariablen anhand weniger Kennzahlen zu charakterisieren oder zu vergleichen, bedient man sich üblicherweise bestimmter Parameter, wie bspw. des Erwartungswertes oder der Varianz.
Zur Erläuterung dieser Parameter gehen wir zunächst davon aus, dass der Vorgang, der zu einem »zufälligen« Ergebnis führt, beliebig oft wiederholt werden kann. Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X gibt dann eine Auskunft darüber, welchen Wert die Realisierungen dieser Variable nach zahlreichen Wiederholungen im Mittel annehmen werden. Um den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable zu berechnen, werden die möglichen Realisierungen (die Ausprägungen xi) mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten W(X = xi) multipliziert und anschließend summiert. Für diskrete Zufallsvariablen, bei denen i = 1, 2, …, n Ausprägungen auftreten können, gilt somit:
Beispiel 10 (Erwartungswert):
Mit den Wahrscheinlichkeiten und Ausprägungen der Beispiele 8 und 9 lässt sich der folgende Erwartungswert der Schadenhöhe berechnen:
Die erwartete Höhe des Schadens beträgt somit 13.750 EUR.
Der Erwartungswert gibt eine Auskunft über die Lage bzw. den Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Abbildung 7 zeigt zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unterschiedlichen Erwartungswerten, welche durch Pfeile gekennzeichnet sind. Die Verteilung auf der linken Seite hat einen Erwartungswert in Höhe von 500; der Erwartungswert der Verteilung auf der rechten Seite beträgt 1.750.
Neben dem erwarteten Wert ist bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X auch die Streuung der Ausprägungen um ihren Erwartungswert von Interesse. Ein Parameter mit dem diese Streuung üblicherweise charakterisiert wird, ist die Varianzσ2(X). Sie wird bei diskreten Zufallsvariablen berechnet, indem zunächst die Abweichungen der einzelnen Ausprägungen xi (mit i = 1, 2, …, n) von ihrem Erwartungswert E(X) quadriert, sodann mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten W(X = xi) multipliziert und schließlich die Einzelergebnisse der vorherigen Rechenschritte summiert werden:
Abb. 7: Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unterschiedlichen Erwartungswerten
Beispiel 11 (Varianz):
Aufbauend auf den vorherigen Beispielen 8, 9 und 10 lässt sich mit den oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten und Ausprägungen auch die Varianz der Schadenhöhe berechnen:
Die Varianz der Schadenhöhe beträgt somit 4.185.937.500 EUR2.
Die Varianz gibt Auskunft darüber, wie dicht die Ausprägungen der Zufallsvariable um ihren Erwartungswert streuen. Weil die quadrierten Abweichungen und Wahrscheinlichkeiten nicht kleiner als null werden können, kann auch die Varianz nicht negativ werden. Aufgrund der Quadrierung weicht die Einheit der Varianz (im Beispiel EUR2) jedoch von der Einheit der Zufallsvariable (im Beispiel EUR) ab, sodass sich die Varianz nur schwer interpretieren lässt. Daher wird gewöhnlich die Standardabweichung σ(X) berechnet, welche der Quadratwurzel der Varianz entspricht:
Beispiel 12 (Standardabweichung):
Für die in den vorherigen Beispielen betrachteten Ausgangswerte ergibt sich die Standardabweichung aus