Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія. Отсутствует
цей процес на всю математику? І хто захоче працювати в такій роздробленій науці?
Мабуть, так міркував Гаусс у другій половині свого життя – і мовчав, не в змозі відповісти ні собі, ні іншим на це питання. Важко відповісти на нього й нині, у ХХІ столітті – особливо після того, як неясний здогад Гаусса перетворився в 1931 році на чітку теорему Геделя про неповноту будь-якої формальної системи аксіом.
Але вченому треба жити й працювати – навіть коли його розум не дає відповіді на ті питання, що його непокоять. Після 1820 року Гаусс захопився геометрією довільних гладких поверхонь. Він дав визначення їхньої кривизни й знайшов несподіваний зв’язок кривизни з Ейлеровою характеристикою поверхні. Займався Гаусс і математичною фізикою: він будував математичну теорію магнетизму, в той час як в Англії Фарадей винаходив способи технічного використання цієї природної сили.
Треба сказати, що 30 березня 1796 року, в день, коли був побудований правильний 17-кутник, Гаусс почав вести щоденник, який невдовзі став справжнім літописом його чудових відкриттів. Наступний запис у щоденнику з’явився вже 8 квітня. У ньому повідомлялося про доведення теореми квадратичного закону взаємності, який він назвав «золотим». Окремі частини цього доведення довели Ферма, Ейлер, Лагранж. Так, Ейлер сформулював загальну гіпотезу, неповне доведення якої дав А. М. Лежандр. А 8 квітня Гаусс знайшов повне доведення теореми Ейлера. Втім, Гаусс ще не знав про роботи своїх великих попередників. Весь нелегкий шлях до «золотої теореми» він пройшов самостійно!
У 1798 році Гаусс підготував дисертацію, присвячену доведенню основної теореми алгебри, а вже 1801 року побачили світ знамениті «Арифметичні дослідження» Гаусса. Ця грандіозна книга (понад 500 сторінок великого формату) містить основні результати його міркувань. «Арифметичні дослідження» вплинули на подальший розвиток теорії чисел і алгебри. Закони взаємності дотепер посідають одне із центральних місць в алгебричній теорії чисел.
К. Ф. Гаусс залишив після себе відразу чотири доведення основної теореми алгебри. Першому доведенню він присвятив випущену в 1799 році докторську дисертацію на цю тему. Повз увагу Гаусса не пройшли «білі плями» в роботі Ейлера, а головне, він покритикував саму постановку питання, коли заздалегідь передбачалося існування коренів рівнянь. Перше доведення Гаусса було аналітичним. У другому доведенні (1815) знаменитий математик знову повернувся до критики доведення основної теореми алгебри за допомогою міркування, коли заздалегідь передбачається існування коренів рівняння.
Гаусс так пояснив у вступному параграфі необхідність нового доведення: «Хоча доведення про розкладання цілої раціональної функції на множники, що я дав у мемуарах, опублікованих 16 років тому, не залишає бажати кращого стосовно строгості й простоти, треба сподіватися, що математики не вважатимуть за небажане, що я знову повертаюся до цього надзвичайно важливого питання і будую друге, не менш строге доведення,