Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія. Отсутствует
як математик – причому такий, яких Франція не народжувала з часів Декарта. Цей дивно стрімкий злет наукової думки зробив коротку біографію Еваріста Галуа найвищою мірою повчальною для математиків з наступних поколінь. І це при тому, що математичні праці Галуа, принаймні ті, що збереглися, становлять якихось шістдесят невеличких сторінок. Ніколи ще праці такого малого об’єму не давали автору такої виняткової популярності. У чому ж полягає його відкриття?
Розмірковуючи над працями Гаусса, Галуа писав: «Підкорити обчислення своїй волі, згрупувати математичні операції, навчитися їх класифікувати за мірою важкості, а не за зовнішніми ознаками, – ось задачі математиків майбутнього, на мою думку, ось шлях, яким я хочу піти».
Основна задача алгебри – пошук загального розв’язку алгебричних рівнянь – не залишалася поза увагою математиків і на початку ХІХ століття. Коли говорять про загальний розв’язок рівняння другого степеня ax2 + bx + c = 0, то мають на увазі, що кожний із двох його коренів може бути виражений за допомогою кінцевої кількості операцій додавання, віднімання, множення, ділення й множення коренів, виконуваних над коефіцієнтами a, b та с. Молодий норвезький математик Нільс Абель (1802–1829) довів, що неможливо одержати загальний розв’язок рівняння степеня вище чотирьох за допомогою кінцевої кількості алгебричних операцій. Однак існує багато рівнянь спеціального виду степеня вище чотирьох, які допускають такий розв’язок. От Галуа і дав остаточну відповідь на питання про те, які рівняння розв’язні в радикалах, тобто корінь яких рівнянь можна виразити через їхні коефіцієнти за допомогою кінцевої кількості алгебричних операцій. У теорії Галуа користувався підстановками або перестановками коренів, він також увів поняття групи, яке потім широко застосовувалося в багатьох відгалуженнях математики.
Йому потрібно було зрозуміти самому й пояснити іншим, чому рівняння вищих степенів не розв’язуються в радикалах! Гаусс винайшов у цій галузі чудову конструкцію. Можна приєднати до поля коефіцієнтів багаточлена його корінь і одержати нове поле – розширення колишнього поля. Цю дію можна повторювати багато разів; у підсумку виникає щось на зразок зростаючого кристала, осі й грані якого мають особливу симетрію. І можливо, що від цієї симетрії залежить можливість розв’язання вихідного рівняння!
Такою була зухвала здогадка Галуа; вона виявилася вірною, і саме через це автора вважають генієм. Але не тільки через це! Ще важливіше те, що Галуа зумів довести свою гіпотезу до строгої теореми. Для цього йому довелося створити першу математичну теорію довільних симетрій – так звану теорію груп. Саме Галуа ввів у науку такі поняття, як група й підгрупа, ізоморфізм і гомоморфізм груп.
Але навіть у наші дні суть теорії Галуа є складною для непідготовленої людини. Як почували себе сучасники Галуа – навіть наймаститіші академіки? Не дивно, що за життя Галуа (а жити йому залишалося два роки!) ніхто не зміг оцінити його відкриття належно, хоча Еваріст щедро розсилав свої