Métodos numéricos. Francisco José Correa Zabala

Métodos numéricos

Primero: conocimiento. Identifica, utiliza y reformula las nociones y conceptos que permiten generar y caracterizar los métodos numéricos 1. Describe y utiliza las nociones matemáticas involucradas en la definición de un método numerico 2. Formula nociones matemáticas de forma discreta para la definición de métodos numéricos 3. Describe los alcances y dificultades de un método numérico apoyado en argumentos matemáticos Segundo: comprensión. Analiza los métodos numéricos desde el punto de vista matemático y algorítmico 1. Formula de forma detallada cada uno de los pasos de un método numérico utilizando argumentos matemáticos y/o computacionales 2. Elabora o utiliza algoritmos relacionados con métodos numéricos 3. Utiliza argumentos matemáticos para describir un método numerico 4. Reconoce argumentos teóricos para argumentar sobre la calidad de las soluciones obtenidas en la aplicación de un método numérico Tercero: aplicación. Utiliza métodos numéricos para la solución de problemas 1. Dado un problema, selecciona el método adecuado para su solución 2. Razona sobre la calidad de la solución obtenida por la aplicación de un método numérico

Tabla 1. Competencias especificas para desarrollar en el curso

1.2.1 Competencias previas

Pretendemos presentar de forma simple las competencias que el lector debe haber desarrollado. No es una lista exhaustiva de los problemas involucrados, y por estrategia metodológica trataremos en el desarrollo de cada tema de presentar los fundamentos que se necesiten para el logro de las metas de la actividad propuesta.

1. Disponer del manejo de un lenguaje de programación o herramientas computacionales en las que se puedan diseñar y ejecutar los algoritmos correspondientes a los métodos numéricos desarrollados.

2. Disponer de los fundamentos que proporciona el cálculo integral y diferencial.

3. Reconocer el significado básico en relación con cada una de las siguientes áreas o expresiones, aunque en general en el desarrollo del texto se exponen argumentos para que los temas sean autocontenidos.

1) Ecuaciones de una variable. Dada una ecuación en la que esté involucrada una variable, se pretende encontrar el valor de la variable que hace cierta la ecuación. Por ejemplo, x = 2 es la solución de la ecuación

2^x+3 − x⁴ + 3 = 3^x + 10

2) Sistemas de ecuaciones lineales. Dado un conjunto de ecuaciones lineales, determinar el conjunto de valores que las hacen ciertas de forma simultánea. Por ejemplo, x = 0, y = 2, z = −1 es la solución del siguiente sistema

6x − 3y + 4z = −10 5x + 4y − z = 7 3x + 2y + 5z = −1

3) Ajustes de curvas. Reconocer los aspectos fundamentales de los polinomios en los números reales

p(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + . . . + a₁x + a₀

4) Diferenciación. Determinar el significado y el valor correspondiente a la derivada evaluada en un valor. Por ejemplo, el valor de f′(2) dada la función f(x) = cos(x) − 3x² − 1 es

f′(2) = −12.9092

5) Integración. Hallar el valor de una integral definida. Por ejemplo

6) Ecuaciones diferenciales. Dada una ecuación diferencial, se pretende hallar su solución (se utiliza la integración como una de las herramientas para la solución de una ecuación diferencial). Por ejemplo, la función f(x) = x³/3 + 4x − 5 es una solución de la ecuación diferencial

4. Reconocer los elementos matemáticos que fundamentan la solución y los correspondientes métodos analíticos para la solución de:

1) Ecuaciones de una variable. Propiedades de la igualdad, funciones de variable real y sus correspondientes inversas. Solución gráfica de una ecuación. Significado de ecuación y aplicaciones del concepto.

2) Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra de vectores y matrices, propiedades de la igualdad, métodos directos para la solución de sistemas de ecuaciones: sustitución, despeje, igualación, regla de Cramer, etc. Solución gráfica de un sistema de ecuaciones. Significado de los sistemas de ecuaciones y aplicaciones del concepto.

3) Ajuste de curvas. Teoría de funciones. Significado de función y aplicaciones del concepto.

4) Diferenciación. Significado de la derivada y aplicaciones del concepto. Cálculo de la derivada de una función dada. Propiedades de la derivada.

5) Integración. Significado de la integral y aplicaciones del concepto. Cálculo de la integral de una función dada. Propiedades de la integral.

6) Ecuaciones diferenciales. Significado de las ecuaciones diferenciales y aplicaciones del concepto. Métodos directos para la solución de ecuaciones diferenciales.

1.2.2 Competencias según sus áreas de aplicación

1. Errores en cómputos numéricos

1) Detectar la presencia de errores en cómputos numéricos al utilizar el computador como herramienta de trabajo, reduciendo su efecto y causas.

2) Reconocer la forma como se manejan los aspectos numéricos en un computador, determinando estrategias para minimizar sus efectos inadecuados.

2. Ecuaciones de una variable

1) Definir métodos numéricos para la solución de ecuaciones de una variable utilizando argumentos matemáticos y computacionales.

2) Determinar las raíces de una ecuación no lineal dada empleando los métodos numéricos de manera eficiente y analizando los problemas de convergencia que puedan presentarse.

3. Sistemas de ecuaciones lineales

1) Definir métodos numéricos para la solución de sistemas de ecuaciones utilizando argumentos matemáticos y computacionales.

2) Resolver problemas que se reducen a sistemas de ecuaciones lineales.

3) Emplear los diferentes algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales ahorrando tiempo de cómputo, posiciones de memoria y reduciendo los errores.

4. Interpolación

1) Definir métodos numéricos para determinar una función polinómica que aproxime el comportamiento de un conjunto de valores o una función no polinómica utilizando argumentos matemáticos y computacionales.

2) Determinar el polinomio que interpola un conjunto de valores o una función no polinómica.

5. Integración y diferenciación numérica

1) Definir métodos numéricos para la solución del cálculo de derivadas e integrales de forma numérica utilizando argumentos matemáticos y computacionales.

2) Aplicar las técnicas numéricas de derivación e integración numéricas en la solución de problemas

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