Topología del amor. Luis Darío Salamone
Si no retiramos BD podemos cruzar todos los puentes una sola vez, pero sin terminar donde empezamos. El paseo deberá iniciarse desde un vértice impar.
GRAFO CON PUENTE AGREGADO
Si la gráfica tiene como máximo dos vértices impares, puede ser igualmente recorrida, pero sin volver al punto de partida. Es más, generalmente si la gráfica contiene una determinada cantidad de impares, esa será la cantidad de viajes necesarios para recorrerla.
Este tipo de problemas datan de la más remota antigüedad. Kasner & Newman rescatan una figura que tiene su lugar en la historia de la magia y la superstición, conocida por los mahometanos y los hindúes, por pitagóricos y cabalistas. Era utilizada como talismán, se la grababa en la cuna de los niños para ahuyentar el mal, o en los establos. El cristianismo lo utilizó para representar las cinco llagas de Cristo. Es una estrella pentagonal que algunos hemos dibujado y podemos recorrer en un solo trazo. También llamada pentagrama, pentáculo o estrella pitagórica. También pentalfa, ya que se dibujan cinco letras A o alfa.
ESTRELLA PITAGÓRICA
Incluso, siguiendo la teoría de Euler, una figura en apariencia más complicada como la que dibujamos a continuación, puede ser recorrida en un solo trazo. Se trata de un pentagrama en el interior de un pentágono. Un nudo simple atado a una cinta de papel estirado y aplanado termina formando un pentágono perfecto. También podemos encontrar en estos diagramas la sección aurea, una de las tres proporciones simples que se encuentran en los primeros polígonos.
ESTRELLA EN PENTÁGONO
En cambio, esta otra figura, en apariencia más simple, no puede ser recorrida sin tener que levantar la tiza o el lápiz para dibujarla.
CRUZ EN RECTÁNGULO
¿Qué nos muestra esta regla de Euler? Además de solucionar el problema de los puentes, que a los parroquianos entre una cerveza y otra se les complicaba resolver, nos permite plantearnos la existencia de propiedades fundamentales de las figuras geométricas que no dependen del tamaño o la forma. Si a cualquiera de estas figuras la deformamos no afectamos el estudio de esas propiedades.
Maurice Fréchet y Ky Fan en Introducción a la topología combinatoria,(8) plantean ciertas distinciones realizadas por Henri Poncairé, que nos habla de tres clases de geometrías:
1. La geometría métrica: se encuentra fundada en la noción de distancia. Dos figuras resultarán equivalentes cuando son iguales, hay que entender esta igualdad en el sentido matemático del término.
2. La geometría proyectiva: está fundada en la noción de línea recta. Para que dos figuras sean equivalentes, no necesariamente tienen que ser iguales, basta con pasar de una a otra por medio de una transformación proyectiva. Es decir, que una sea la perspectiva de otra. Se la puede llamar Geometría Cualitativa. Si bien, en apariencia, la cantidad desempeña un papel menos importante, esto no es tan así. Se utilizan, por ejemplo, reglas, las cuales son instrumentos de medida.
3. La tercera geometría sería la que nos interesa: la topología, donde la cuestión de la cantidad está suprimida por completo, es decir, que se trata de una disciplina puramente cualitativa. Dos figuras serán equivalentes, siempre que pasemos de una a otra por medio de una “deformación continua”. No importa qué tipo de deformación sea, con tal de que sea respetada la continuidad. Un círculo, una elipse, una curva cerrada cualquiera, son equivalentes.
CÍRCULO, ELIPSE Y FIGURA CERRADA
Pero todas estas figuras no son equivalentes a un segmento de recta, ya que éste no es cerrado.
Tomemos un ejemplo que nos resulte claro. Imaginemos un modelo y la copia de ese modelo realizado por un dibujante para nada habilidoso, al cual le tiemblan las manos, altera todas las proporciones y el temblor se manifestará en curvas que en verdad no se encuentran en el modelo.
Desde la geometría métrica o desde la proyectiva no habrá equivalencia entre las figuras, sin embargo, serán equivalentes desde el punto de vista de la topología.
Hay que tener en cuenta que no importa si nuestro pésimo dibujante altera las proporciones, incluso groseramente, si en lugar de líneas rectas aparecen por ejemplo zig zags o cosas por el estilo, pero para que se conserven las propiedades topológicas no se puede dibujar una línea curva en lugar de una línea abierta, o líneas que se corten en un punto, una superficie con abertura en lugar de una que no la tiene, etc.
MODELO Y COPIA
Para Fréchet y Fan en la topología es dónde interesa verdaderamente la “intuición geométrica”. Le interesa el espacio y se distingue de las geometrías métricas de Euclides, de
Lobchensky, de Reimann, que tratan sobre magnitudes y ángulos. Se trata entonces directamente de una Geometría no cuantitativa.
En este campo no nos vamos a preguntar “¿qué longitud?”, “¿a qué distancia?”, “¿de qué magnitud?”, sino más bien que nos haremos preguntas tales como “¿dónde?”, “¿entre qué?”, “¿interior o exterior?”.
El término Analysis Situs se lo debemos a Leibniz (1679). Si bien el invento, como hemos visto, fue de Euler, el primer Estudio sobre topología que se conoce es de 1847 y pertenece a Johann Benedict Listing, que fue el primero en hablar de topología. Listing va a descubrir las propiedades de la Banda de Moebius incluso antes que el señor que finalmente se quedará con el nombre de la banda. En verdad la descubrieron cada uno de forma independiente en 1958.
Se define a la topología como “El estudio de las propiedades de los espacios, o sus configuraciones, invariantes bajo transformaciones continuas uno-a-uno”.
“Invariantes” es un término inventado por el inglés Sylvester, a quien se lo llamó el “Matemático Adán”, porque introdujo muchos nombres a las matemáticas.
La topología estudia entonces la posición y la relación de las partes de una figura con respecto a otra, sin tener en cuenta la forma y el tamaño.
Vamos a dibujar un triángulo plano. Topológicamente sería equivalente a la figura de al lado, un poco surrealista, que como ven pueden localizar los mismos puntos. Cambiaron las líneas rectas por curvas, los ángulos se deformaron, tanto como las longitudes. Sin embargo, hay propiedades que no están afectadas: a estas se las llaman “invariantes”. El orden de los puntos no cambia, es invariante. La topología hace de estas invariantes un sistema matemático.
4. Demostración topológica de la no relación sexual
Si tomamos dos anillos de hierro unidos como aparecen en la figura que sigue, no podremos separarlos a menos que se rompa uno de ellos. Esto resulta evidente, pero sin la topología no podríamos demostrarlo matemáticamente. Porque la topología se ocupa de estudiar si las propiedades espaciales cambian o no.
ANILLOS ENCADENADOS
Vamos a realizar una prueba que podríamos considerar topológicamente equivalente. Seguimos el libro de Kasner & Newman