Physikalische Chemie. Peter W. Atkins

Physikalische Chemie - Peter W. Atkins


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proportional zur Größe des betrachteten Intervalls; wir schreiben dafür ƒ(υ) dυ und bezeichnen ƒ(υ) als Geschwindigkeitsverteilung. Ein Ausdruck für die Geschwindigkeitsverteilung lässt sich finden, indem wir erkennen, dass die Energie der Moleküle rein kinetischer Natur ist; mithilfe der Boltzmann-Verteilung können wir beschreiben, wie sich diese Energie auf die Moleküle verteilt.

      Herleitung 1.2: Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung

      Die Boltzmann-Verteilung (siehe Prolog „Energie, Temperatur und Chemie“) bildet den Ausgangspunkt für die folgende Herleitung.

      Schritt 1 Formulierung eines Ausdrucks für die Verteilung der kinetischen Energie.

      Die wesentliche Aussage der Boltzmann-Verteilung ist, dass der Anteil der Moleküle mit den Geschwindigkeitskomponenten υx, υy und υz proportional zu einer Exponentialfunktion ihrer kinetischen Energie ist: image wobei K eine Proportionalitätskonstante ist. Für die kinetische Energie gilt

image image

      Da dieser Anteil offensichtlich in drei Faktoren zerfallt - je einenfur jede Achse -, machenwir den Ansatz image mit

image

      (und analog fur die beiden anderen Richtungen).

      Schritt 2 Bestimmung der Konstanten Kx, Ky und Kz. Zur Bestimmung von Kx uberlegenwir uns, dass die Geschwindigkeit jedes Molekuls irgendwo im Bereich image liegen muss, so dass die Integration uber den gesamten Bereich eine Wahrscheinlichkeit von 1 ergibt:

image

      (Die Grundlagen der Integralrechnung sind in „Toolkit 4: Integralrechnung“ zusammengefasst.) Nun setzen wir den obigen Ausdruck für ƒ(υx) ein und erhalten

image

      dazu haben wir das Standardintegral

image

      verwendet. Es folgt nun image und somit gilt fur die x-Komponente

      (1.11)image

      Die Beziehungen für ƒ(υy) und ƒ(υz) ergeben sich in analoger Weise.

      Schritt 3 Formulierung eines vorläufigen Ausdrucks für image

      Die Wahrscheinlichkeit, dass die Geschwindigkeit eines Molekuls im Intervall υx bis υx + dυx, υy bis υy +dυy und υz bis υz +dυz liegt, ist dann das Produkt dieser einzelnen Wahrscheinlichkeiten,

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      Schritt 4 Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül eine Geschwindigkeit im Bereich υ bis υ + dυ besitzt.

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      und durch Umstellen erhalten wir für die Funktion ƒ(υ) selbst

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R Einheit
8, 314 47 JK-1 mol-1
8, 205 74 × 10-2 dm3 atm K-1 mol-1
8, 314 47 × 10-2 dm3 bar K-1 mol-1
8, 314 47 Pa m3 K-1 mol-1
62, 364 dm3 Torr K-1 mol-1
1, 987 21 cal K-1 mol-1
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