Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung. Axel Bruns
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Aufgabe 1
Im PC-Pool der Uni Stuttgart, Fachbereich Mathematik, wurde ein neuer Drucker aufgestellt und zusätzlich bessere Software vom Netz-Chef installiert. Auch hat man herausgefunden, dass nicht der Typ der Datei der Grund des Papierstaus war, sondern der jeweilige Lehrstuhl, aus dem die Datei stammt. Insgesamt gibt es drei Lehrstühle. Der Netz-Chef hat sich folgende Informationen auf einem Zettel notiert:
Typ1: Anteil: 50%; Fehler 4%
Typ2: Anteil: 40%; Fehler 1,25%
Typ3: Anteil: 10%; Fehler 25%
a) Geben Sie für diese Zettelinfo einen geeigneten Grundraum an, und beschreiben Sie in diesem die Ereignisse:
A1 … Die Datei stammt vom Lehrstuhl i (i=1,2,3)
B … Es gibt einen Papierstau
b) Drücken Sie die Daten der Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsmaßes P: P(Omega) [0,1] und der Ereignisse A1, A2, A3 und B aus.
c) Berechnen Sie P(B)
1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Papierstau durch eine Datei vom Typ i verursacht wurde (i=1,2,3)
e) Nun hat sich durch ein automatisches Windowsupdate das Antivirenprogramm unbemerkt verabschiedet, und dadurch haben sich die Windows-Computer einen Netzwerk-Wurm eingefangen, der die Druckaufträge teilweise löscht und vor der Löschung unbemerkt an den Fachbereich Informatik der Uni Stuttgart sendet, von Studenten, die an die Prüfungsaufgaben des Fachbereichs Mathematik herankommen wollen.
Diese Virenaktivität ist dem Netz-Chef aufgefallen und notiert sich auf einem weiteren Zettel die Informationen, die sich geändert haben:
Typ2_neu: Anteil 35%; Fehler 1,25%
Typ3_neu: Anteil 5%; Fehler 26%
Typ4_Wurm: Anteil 10%; Prüfungsaufgaben versendet 90%
f) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe a, b, und c jeweils mit Ereignis A4 und (i=1,2,3,4)
g) Nach Rücksprache vom Netz-Chefs und des Mathematik Professors werden absichtlich 500 Ausdrucke mit falschen Prüfungsaufgaben ausgedruckt, die zum Teil vom Wurm verschickt wurden, was die Studenten jedoch nicht wissen. Nun stellt sich die Frage wie viele falsche Aufgaben wurden an den Fachbereich Informatik geschickt, und wie viele Studenten lernen die falschen Lösungen für die Prüfungen auswendig. Mit einem Anteil von 12% der Studenten und 90% falschen Lösungen fallen die Betrüger durch die Prüfung. Berechnen Sie die Anzahl der Studenten die durch die Wurmattacke durch die Mathematik-Klausur gefallen sind.
h) 8% der Informatik-Studenten verlassen sich nicht auf die falschen Aufgaben und bestehen die Prüfung. 5% der Informatiker fallen hingegen trotz Lernens durch die Klausur. Wie groß ist der Anteil der Studenten, die betrogen haben, und nicht zur Klausur kamen, wenn hiervon 0,25% zur Klausur krank gemeldet waren.
i) Von den krank-gemeldeten Studenten besuchen 60% die Nachklausur, und bestehen diese zu 80% nicht, da der Professor inzwischen durch die Klausur weiß, wie viele Studenten sich von der Anzahl der Betrüger in der Klausur befinden. Wie groß ist der Anteil der Studenten, die die Klausur bestehen und durch die Wurmattacke betroffen waren?
Aufgabe 2
Um die allgemeine Popularität der Administratoren unter den Nutzern auszunutzen und nebenbei auch noch Geld in die klammen Kassen zu spülen entschließt sich die Universität Stuttgart dazu Päckchen zu verkaufen. Jedes dieser Päckchen enthält jeweils eine der acht verschieden All-Time-Best-Ever Netz-Chef als Plastikfigur. Einen anderen Grund die Päckchen zu kaufen gibt und braucht es auch nicht. Da keiner der Nutzer jemals wieder ein glückliches Leben führen kann wenn er nicht alle acht Figuren besitzt und niemand Figuren tauscht, stellt sich daher die Frage wie viele Packungen müssen Sie im Schnitt kaufen, bis Sie einen kompletten Satz von acht
verschieden Figuren gesammelt haben? Die verschiedenen Figuren sind mit gleicher Häufigkeit in den Packungen vertreten.
Beachten Sie Yi := Xi-Xi-1, wobei X1 die Zahl der gekauften Packungen sei, bis Sie i verschiedene Figuren beisammen haben. Warum ist Y1 geometrisch verteilt?
Jedes Jahr findet zu Beginn des Wintersemsters eine Computereinführungsveranstaltung im Fachbereich Mathematik und Informatik der Uni Stuttgart statt. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass etwa 18 % der angemeldeten Kursteilnehmer nicht zum Kurs erscheinen. Und da jeder Teilnehmer einen eigenen Rechner während des Kurses braucht können nicht mehr Teilnehmer als freie Computer am Kurs teilnehmen. Insgesamt gibt es zehn Kurstermine mit je 22 Plätzen und in jedem der zwei Fächer, die für diesen Kurs in Frage kommen, gibt es je 120 Erstsemster. Um die Rechnung zu vereinfachen wird von einem großen Termin ausgegangen, d.h. ein Termin mit 220 Plätzen. Berechnen Sie mittels Approximation durch den zentralen Grenzwertsatz
1. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Kursteilnehmer die zum Kurs da sind einen Platz finden, wenn sich für den Kurs alle Erstsemster angemeldet haben.
2. wie viele Anmeldungen dürfen höchstens angenommen werde, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 alle erscheinenden Kursteilnehmer in einem Kurs mit 220 Plätzen einen Platz finden sollen.
Aufgabe 3
Jedes Jahr zum Sommersemester veranstaltet die Uni Stuttgart ein Sommerfest zusammen mit allen wissenschaftlichen Instituten wie auch dem Fachbereich Mathematik. Zum Verkauf stellt der Fachbereich Mathematik knapp 10 Kilogramm Brombeermarmelade her. Dazu braucht man ungefähr 10000 Brombeeren. Aus jahrelanger Erfahrung in der Mathematik wissen wir, dass in einer von hundert Brombeeren ein Wurm ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den 10000 Brombeeren in höchstens zehn eine mit 'Fleischeinlage' dabei ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit jeweils,
1 exakt
2 mit der Approximation durch die Poisson-Verteilung
3 mit dem zentralen Grenzwertsatz
4 Bestimmen Sie auch den jeweiligen relativen Approximationsfehler
Aufgabe 4
In einer Schublade liegen