Рынок облигаций. Анализ и стратегии. Фрэнк Дж. Фабоцци
target="_blank" rel="nofollow" href="#i_086.jpg"/>(4.6)
Отношение дюрации Маколея к 1 + у получило название модифицированной дюрации. Таким образом:
Подставив выражение (4.7) в формулу (4.6), получим:
Из формулы (4.8) видно, что модифицированная дюрация связана с примерным процентным изменением цены при данном изменении доходности. Поскольку для всех облигаций без встроенных опционов модифицированная дюрация является положительным числом, выражение (4.8) устанавливает обратную зависимость между модифицированной дюрацией и примерным процентным изменением цены при данном изменении доходности. Это закономерный результат: как известно, фундаментальный принцип движения цен на облигации гласит, что они изменяются в направлении, противоположном направлению движения процентных ставок.
В табл. 4.4 и 4.5 приводятся данные о дюрациях Маколея и модифицированных дюрациях двух пятилетних купонных облигаций. Дюрации выражены в количестве периодов (а не лет). Таким образом, мы имеем дело с полугодовой дюрацией: денежные потоки данных облигаций поступают раз в полгода. Для получения значений годовой дюрации, приведенные значения следует поделить на 2 (см. примечания к табл. 4.4 и 4.5). Заметим, что при поступлении денежного потока m раз в году дюрация, выраженная в годах, уточняется путем деления на m, т. е.:
Дюрация Маколея в годах и модифицированная дюрация для шести гипотетических облигаций равны:
Вместо того чтобы использовать выражение (4.5) для вычисления дюрации Маколея и формулу (4.7) для получения модифицированной дюрации, мы предлагаем разработать альтернативное выражение, не требующее кропотливых вычислений, предполагаемых формулой (4.5). Цену облигации мы выразим в терминах следующих двух компонентов: 1) приведенная стоимость аннуитета, где аннуитет – это сумма купонных выплат; и 2) приведенная стоимость номинала. Таким образом, цена облигации номинальной стоимостью $100 будет равна[20]:
Взяв первую производную выражения (4.9) и поделив результат на Р, получим новую формулу вычисления модифицированной дюрации:
где цена выражена в виде процента номинальной стоимости. Дюрация Маколея может быть получена посредством умножения выражения (4.10) на (1 + у). В качестве иллюстрации рассмотрим 25-летнюю 6 %-ную облигацию, торгующуюся по 70,357 при доходности 9 %. В этом случае:
Подставим имеющиеся значения в формулу (4.10) и получим:
Переведем значение в годы: поделим результат на 2 и получим 10,62 – модифицированную дюрацию. Умножим на 1,045 и получим 11,10 – дюрацию Маколея.
Свойства дюрации. Как видно из анализа значений дюраций шести гипотетических облигаций, модифицированная дюрация и дюрация Маколея купонных облигаций меньше, чем их срок до погашения. Из формулы явствует также, что дюрация Маколея облигации с нулевым купоном равна ее сроку до погашения; модифицированная дюрация облигации с нулевым купоном, однако, меньше ее длительности. Кроме того, чем меньше купон, тем, как правило, больше дюрация Маколея и модифицированная дюрация облигации
Первое выражение в скобках в формуле (4.9) – это приведенная стоимость купонных выплат из формулы (2.7), дисконтированная по