Теоретическая механика. Часть 4. Динамика системы материальных точек и твердого тела с решениями задач. Михаил Иванович Бармин
выражении 1.3. принципа возможных перемещений (П.В.П.) S=1S—число степеней свободы системы, равное числу возможных (виртуальных) её перемещений, допускаемых наложенными на М.C. связями.
Пример на П.В.П.: Балка АВ находится в равновесии под действием сил и . Плечи сил”а” и “ b” известны. Каково должно быть соотношение сили , т. е. Р = F(Q)=? (Рис. 1.3).
Система имеет S=1, описываемое углом “” поворота вокруг оси “O”. Считая, ввиду их малости ““= и ,
Определим
Отсюда . Это ответ.
Применим П.В.П. К задачам статики. Там тело изначально находится в равновесии, т.е. заведомо.
Пример:
Определить реакцию балки АБ при следующих
данных: Р, а,
b
. (Рис.1.4.
)
Данная М.С. имеет S=1 и угол и есть виртуальное перемещение балки АВ. При этом перемещение точек приложения сил и будут соответственно
и . Тогда отсюда ; это и ответ.
Р.S.: Решая задачу методами статики, имеем: т.е. .
Так что задачи статики можно решать и П.В.П.
1.3. Принцип Даламбера и общее уравнение динамики механической системы и твердого тела.
Формулировка принципа Даламбера:
Если к каждой точке механической системы с двухсторонними связями помимо сил, на них действующих, приложить еще и силу инерции (), то все силы, действующие на все точки М.С. будут взаимно уравновешенны и к такой, уже уравновешенной системе сил, можно применить все законы статики, а также и П.В.П.
При этом .
Спроектировав на оси декартовой системы координат выражение 1.4, имеем:
(1.4).
Выражение 1.4. и есть общее уравнение динамики. Оно позволяет
находить ускорения “” точек механической системы.
Пример: Найти ускорение грузов Q и (Рис. 1.5) При следующих данных:
P, Q, причем
Система Р и
Q
имеет
S
=1, тог
l
а приложим к грузам их силы
инерции и
Здесь “a”– ускорение грузов. Дадим возможное перемещение
Тогда:
Отсюда имеем: Это ответ.
Рис 1.5
Известно, что . При Q=P имеем a=0 – равновесие системы.
ЛЕКЦИЯ №2
1.4. Центр масс механической системы и твердого тела и теорема о его движении.
Центр масс механической системы любого числа “n” материальных точек в произвольном его движении это точка (или место в пространстве внутри системы), для которой выполняется следующее векторное равенство: (1.5)
На рис. 1.6. изображен центр масс “C” произвольной М.С. Видно, что . Если произвести умножение на , а затем суммировать по “i=1n”, то имеем:
. Отсюда . (1.6)
Понять, почему для () С легко на примере системы 2х точек .
(Рис. 1.7), для которой () С будет посредине, т. е. и
Здесь векторная сумма