Нейронный сети. Эволюция. Каниа Алексеевич Кан
приращение функции – это аналог пути ∆s, пройденного за время ∆t.
Если представить, что ∆х – бесконечно мала, т.е. стремиться к нулю (∆х-›0), то выражение нахождения изменения скорости можно записать как:
Или исходя из геометрического представления, описанного ранее:
Отсюда вывод, что производная функции f(x) в точке х – это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.
Нахождение некоторых табличных производных
Решим найденным способом, наш первый пример, когда скорость автомобиля была постоянной, на всем промежутке времени. В этом примере, приращение функции равно нулю (∆s = 0), и соответственно тангенса угла не существует:
∆s = s(t+∆t) – s(t) = s(t) – s(t) = 0
Итак, имеем первый результат – производная константы равна нулю. Этот результат мы уже выводили ранее:
Откуда можно сформулировать правило, что производная константы, равна нулю.
s(t) = с, где с – константа
с′ = 0
Запись с′ – означает что берется производная по функции.
Во второй примере, когда изменение скорости автомобиля проходило линейно, с постоянным изменением, найти производную функции (s = 0,2t + 1,5), не зная правил дифференцирования сложных функций, мы пока не сможем, поэтому отложим этот пример на потом.
Продолжим с решения третьего примера, когда изменение скорости автомобиля проходило не линейно:
s = t²
Приращение функции и производная:
s(t) = t²
∆s = s(t+∆t) – s(t) = (t+∆t) ² – t² = t² + 2t∆t + ∆t² – t² = ∆t(2t+∆t)
Вот мы и решили наш третий пример! Нашли формулу точного изменения скорость от времени. Вычислим производную, в всё той же точки t = 3.
s(t) = t²
s′(t) = 2*3 = 6
Точный ответ, в пределах небольшой погрешности, почти сошелся с вычисленном до этого приближенным ответом.
Попробуем усложнить пример. Предположим, что скорость движения автомобиля описывается кубической функцией времени:
s(t) = t³
Приращение и производная:
s(t) = t³
∆s = s(t+∆t) – s(t) = t³ + 3 t²∆t+ 3t∆ t² + ∆ t³ – t³ = ∆t(3 t² + 3t∆t + ∆t²)
Из двух последних примеров (с производными функций s(t) = t² и s(t) = t³) следует, что показатель степени числа, становится его произведением, а степень уменьшается на единицу:
s(t) = tⁿ
А чему равна производная от аргумента функции? Давайте узнаем…
s(t) = t
Приращение:
∆s = s(t+∆t) – s(t) = t + ∆t – t = ∆t
Производная: