Путеводитель для влюбленных в математику. Эдвард Шейнерман
требующее доказательства, истинно. Путеводная путаница, софистика-эквилибристика!
Есть и другой способ доказательства: создать некий механизм по производству простых чисел. Мы засыпаем в него пригоршню простых чисел и – вуаля! – оттуда высыпаются новые простые числа. Вот как работает эта машина.
Зачерпнем полдюжины простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Перемножим их и приплюсуем единицу:
(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 30 031.
Ясно, что 30 031 не делится на 2, – это легко заметить, потому что последняя цифра нечетная. На 3 оно тоже не делится (потому что на единицу больше, чем 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13, которое делится на 3). Точно так же оно не делится на 5, 7, 11 и 13. Стало быть, или это число само простое, или его можно разложить на простые множители, не входящие в наш перечень. Кости выпали так, что число 30 031 – составное. Оно раскладывается на простые множители следующим образом: 59 × 509. Этих чисел не было в нашем перечне.
Возьмем их и предыдущие полудюжины чисел и построим новое число:
(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 59 × 509) + 1,
что равно 901 830 931. Кости выпали так, что число оказалось простым[23].
Мы можем добавить его в наш перечень и наштамповать так еще много чисел – либо простых, либо разложимых на простые множители. Эта операция позволяет бесконечно получать все новые и новые простые числа.
Это не единственное доказательства того, что простых чисел бесконечно много. Вот вам еще одно.
Как и в первом доказательстве, предположим, что количество простых чисел конечно, и покажем, что это предположение ведет к противоречию. Представим, что самое большое простое число равно P, и составим перечень простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, …, P.
Пусть N – результат перемножения всех этих чисел:
N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P.
Теперь давайте подумаем обо всех числах от 1 до N включительно. Каждое из них (за исключением 1) делится на одно или несколько простых чисел; иными словами, любое число (кроме 1) делится на какое-то простое число.
Сколько чисел от 1 до N делится на 2? Очевидно, что половина (четные числа). Вычеркнем их и оставим лишь нечетные:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, …
Количество целых чисел между 1 и N, которые мы вычеркнули, равно N / 2.
Вычеркнем из оставшихся чисел те, которые делятся на 3. Вот что получится:
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, …
Мы удалили треть оставшихся чисел[24]. Осталось две трети, а от изначального количества –
Продолжим в том же духе и вычеркнем числа, делящиеся на 5, удалив таким образом пятую часть оставшихся чисел. Получится
1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, …
Дальше мы вычеркиваем числа, делящиеся на 7, оставив шесть седьмых от нашего перечня, и будем двигаться по этому пути, пока не дойдем до числа P.
В конце концов количество тех чисел, которые мы не вычеркнули, станет равно
Так как все числа от 1 до N, кроме 1, делятся на какое-то простое число, выражение (C) должно быть равно
Есть изощренные методы, позволяющие установить, является число простым или составным. С их помощью можно легко решить эту задачу даже на домашнем компьютере.
Вообще говоря, это утверждение надо доказать. В частности, надо доказать, что удалена точно, а не приблизительно треть. –