Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 4: Поверх методологических границ. Коллектив авторов
зрения принята в «Gjdel, Escher, Bach» и «Доказуемое и недоказуемое» [Hofstadter, 1979; Манин, 1979].
Мы видим, таким образом, что «разрешение» парадоксов зависит от научной позиции, занимаемой в рамках содержательной логики. Именно эта позиция и должна определять в соответствии с высказанным выше принципом 1 выбор формализма, в котором соответствующие парадоксы не возникают.
Рассмотрим теперь пример так называемого «логического», а не «семантического» парадокса. Наиболее известен он в своей естественно-языковой форме: «Деревенский брадобрей бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами», однако, имеет и теоретико-множественную формулировку [Френкель, Бар-Хиллел, 1966]. Хорошо известно, что это выражение является не логическим парадоксом, а логически противоречивым определением22.
Смысл парадокса, по-видимому, не в логической противоречивости высказывания, а в чем‐то еще. Френкель и Бар-Хиллел пишут «…это (логическое противоречие. – Я. Д., В. С.) мало способствует уменьшению парадоксальности полученного результата: тот факт, что не может существовать множества, состоящего в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, отнюдь не кажущимся каким‐то исключительным, а именно не содержащих себя в качестве элемента – пожалуй не менее противоречит здравому смыслу, чем прямое противоречие» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17].
Отметим в этом тексте критерий соответствия интуиции: «множество, состоящее в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию» и «не кажущемуся каким‐то исключительным».
Вряд ли можно считать четко определенным условием «все множества, не содержащие себя в качестве элемента». Условие «несодержания себя» крайне слабое и опирается на семантически сомнительное использование одного и того же объекта актуально в двух взаимоисключающих ролях – части и целого. Что же касается «не кажущемуся чем‐то исключительным», то это утверждение, по-видимому, следует принимать как признание того, что автор не видит этой сомнительности.
Далее в этой же работе подчеркивается: «С самого начала следует уяснить, что в традиционной трактовке логики и математики не было решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела». Этот пассаж следует рассматривать как ясное указание на то, что парадокс Рассела носит не логический, а семантический характер. Действительно, и в приведенном выше фрагменте, он рассмотрен как не соответствующее интуиции противоречие, что, пожалуй, говорит о неразработанности интуиции в этом вопросе, а не о пороках логики, иными словами об отсутствии необходимых семантических категорий для его понимания. Точно такую же критику мы наблюдали выше при рассмотрении «парадокса лжеца». Таким образом, вряд ли целесообразно разделять парадоксы на логические и семантические – все они, по нашему мнению, семантические, т.е. могут быть устранены разработкой семантики, что, однако, является задачей не
В «Основании теорем множеств» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17] это сформулированно так: «Нет такого жителя деревни, который бреет всех тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами – результат, хотя может быть и несколько неожиданный для неподготовленного слушателя, но не более парадоксальный, чем, скажем, тот факт, что нет такого жителя деревни, который был бы одновременно и старше и моложе пятидесяти лет». Заметим, что это легко доказать, используя простую логическую формулу: пусть «y бреет х» выражено как xRy, тогда логическая запись утверждения такова:
∧[{(¬ xRx) → xRp} ∧ {(xRx)→¬ (xRp}]
i∈U
где U – множество жителей деревни, Р∈U – брадобрей. Легко видеть, что формула является точным логическим эквивалентом естественно языковой записи и тождество ложно, так как содержит тождественно ложное выражение (¬А→А) ∧ (А→¬А) в качестве одного из члена конъюнкции где А=pRp.