Математические головоломки. Яков Перельман
совсем не стоит.
Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает
Рис. 4
Если один косец в день скашивает
Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым – уже стариком, его особенно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом (рис. 4)».
Ниже нам встретятся еще несколько задач, которые при некоторой сообразительности проще решаются арифметически, чем алгебраически.
33
Коровы на лугу
ЗАДАЧА
«При изучении наук задачи полезнее правил», – писал Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» и сопровождал теоретические указания рядом примеров. В числе этих упражнений находим задачу о быках, пасущихся на лугу, – родоначальницу особого типа своеобразных задач наподобие следующей.
«Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров – в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?»
Задача эта послужила сюжетом для юмористического рассказа, напоминающего чеховский «Репетитор». Двое взрослых, родственники школьника, которому эту задачу задали для решения, безуспешно трудятся над нею и недоумевают:
– Выходит что-то странное, – говорит один из решающих. – Если в 24 дня 70 коров поедают всю траву луга, то сколько коров съедят ее в 96 дней? Конечно,
Рис. 5
– А приняли вы в расчет, что трава все время растет? – спрашивает другой.
Замечание резонное: трава непрерывно растет, и если этого не учитывать, то не только нельзя решить задачи, но и само условие ее будет казаться противоречивым.
Как же решается задача?
РЕШЕНИЕ
Введем и здесь вспомогательное неизвестное, которое будет обозначать суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу. В одни сутки прирастает у, в 24 дня – 24у; если общий запас принять за 1, то в течение 24 дней коровы съедают
1 + 24у.
В сутки все стадо (из 70 коров) съедает
а одна корова съедает
Подобным же образом из того, что 30 коров поели бы траву того же луга в 60 суток, выводим, что одна корова съедает в сутки
Но количество травы, съедаемое коровой