ПутешеÑтвие в квантовую механику. Игорь МерзлÑков
могут носить более сложный характер, нежели «степенная» функция. Часто эмпирическим методом невозможно вывести тот или иной закон. Тогда исследователи прибегают к составлению дифференциального уравнения в частных производных. Решение последних затруднено невысокой производительностью современных компьютеров и часто для таких целей используют суперкомпьютеры.
Пришло время ознакомить читателя с третьим разделом этой книги, чтобы он имел представление о технических трудностях определения начальных условий в стационарном и нестационарном уравнениях Шредингера, так как начальные условия задаются комплексной величиной. Конечно, мной не ставится цель объяснить сразу суть уравнения, но в последующих главах мы разберём и это. Здесь продемонстрирован метод квазианалитического решения произвольно заданных дифференциальных уравнений в частных производных.
Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных
В главе будет рассмотрен квазианалитический подход для решения дифференциальных уравнений в частных производных, который содержит в себе аналитическое описание результата искомой функции и численный метод эволюции её во времени. Подобные численные методы уже существуют, но они чаще всего не являются по своей природе аналитическими, поэтому мне хочется обобщить предыдущие знания с помощью нового подхода.
Интерполяция рядами Фурье
Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье в одномерном случае. Преобразуем его в качестве набора линейных функций, отображаемых на участке (kΔx, (k+1) Δx) вдоль оси x на отрезке (0,R), где Δx есть шаг между линейными комбинациями Fk, а k – это номер вычислительной операции, k∈N, R – координата крайнего граничного условия, противоположно 0:
Тригонометрический ряд для произвольной дифференцируемой кусочно-линейной функции F (x,y) на отрезках (kΔ x, (k+1) Δx) для x и (jΔy, (j+1) Δy) для y:
Для трёхмерного случая x∈ (0,Rx), y∈ (0,Ry), z∈ (0,Rz), где: Rx, Ry, Rz – координаты граничных условий:
Так для функций F (x,y,z), F (x,y), F (x) из выбранных систем координат на отрезках (hΔxg, (h+1) Δxg) где g – индекс координаты, а h – номер итерации, выстраивается произвольная кривая или поле дифференцируемых произвольных функций.
Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных
Пусть Q∈C, что является решением произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Обозначим функции a,b, как вещественную и мнимую часть тождества Q=a+ib соответственно. Для примера квазианалитического метода выберем дифференциальное уравнение, численный метод которого состоит в использовании метода Эйлера. Заметим, что это не единственный применяемый способ решения, но в рамках данной книги остановимся на нём как на простом и более наглядном. Общий вид дифференциального уравнения в частных производных:
ReD и ImD – вещественная и комплексная часть функции D.
Выразим