ПутешеÑтвие в квантовую механику. Игорь МерзлÑков
Q0 подставляется Q из тождества (3.1).
a1 и b1 указывают на новую итерацию во времени Δt для решения дифференциального уравнения Q. Тогда:
В этом тождестве имеется общий член exp (iπnx/Rx+iπmy/Ry+iπlz/Rz) / (RxRyRz), его можно упустить, следовательно:
Тогда для вещественной части:
для мнимой части уравнения:
В следующей итерации по времени в качестве решения Q подставляется тождество Q1:
Производится переход к уравнению (3.1), пока не будет достигнуто равенство VΔt=T, здесь T – время от начальных условий до конечного искомого результата, V – количество итераций во времени, Δt – величина шага по времени.
Частный случай решения
Разделом выше был разобран более общий случай решения дифференциального уравнения на комплексной плоскости. Когда заданы граничные условия Q (0,t) =0 и Q (R,t) =0 в одномерной системе координат, применяется подход вещественных значений Q, которые принадлежат R, следовательно, выражение (3*) примет вид:
Тождество (3.1) преобразуется к виду:
Для операции дифференцирования выражение (3.3) выглядит:
– чётных.
Выражение для функции D преобразуется:
Решение для новой итерации (3.5) преобразуется к виду:
Как видно из выражения (3.6), коэффициенты ряда Фурье следующей итерации легко выражаются коэффициентами ряда Фурье предыдущей итерации в случае линейности дифференциального уравнения с чётным коэффициентом s.
Уравнение Шредингера с постоянной потенциальной энергией является линейным с чётным коэффициентом дифференцирования s, следовательно, оно может иметь подобное квазианалитическое решение. Более того, если заменить решение на Q=ψ (t) ψ (x) ψ (y) ψ (z), тогда уравнение разрешимо относительно ψ (t). Тогда:
Аналитическое решение для волновой функции:
Коэффициент C0 определяется из тождества ограниченности вероятности
здесь под обозначением ψ* понимается комплексно-сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности появления частицы в точке (x,y,z) называют соотношение ψψ*.
Следовательно:
n,m,l – значения, соответствующие квантовым числам расположения фермиона на энергетических уровнях.
Постоянство потенциальной энергии не такое редкое явление в расчётах. Например, по закону Кулона для энергий рассчитывают строение молекулярных структур. Структура стабильна при локально