Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения. Владимир Валентинович Трошин
то число называется недостаточным;
если сумма собственных делителей больше самого числа (+sn>n), то число называется избыточным;
если свершится чудо и сумма собственных делителей будет равна самому числу (+sn=n), то число называется совершенным!
Следует отметить, что древние греки, от которых идут основы теории чисел, не считали само число его делителем. Чтобы наглядно прочувствовать разбиение натуральных чисел на отдельные виды, нужно поработать с числами. Возьмем для примера первые 100 чисел натурального ряда. Вычислим делители каждого из чисел, найдем количество делителей, сумму всех делителей числа и сумму собственных делителей. После этого можно будет сделать некоторые выводы о количестве тех или иных чисел в первой сотне.
В первой сотне выявлено только два совершенных числа 6 и 28. Совершенные числа – это большая редкость.
Простых чисел в первой сотне 25. Исключаем единицу, как не относящуюся ни к простым числам, ни к составным, следовательно, в первой сотне 74 составных числа. Составных чисел больше и отношение количества составных чисел к количеству простых равно 74/25=2,96.
Избыточных чисел в первой сотне 22, недостаточных больше, их 75. Отношение количества недостаточных чисел к количеству избыточных равно 75/22=3,4(09). Как много бедных, как мало богатых…, среди чисел, разумеется. Эти соотношения меняются в зависимости от рассматриваемого отрезка натурального ряда чисел. В интернете можно найти таблицу делителей натуральных чисел от 1 до 1000 и даже до 10 000. Для множества в тысячу чисел результаты следующие: простых чисел 168, следовательно, составных 831 и соотношение равно 831/168=4,95.
Рассмотрим поближе избыточные числа: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100 … .
Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Уверяю вас, это утверждение доказано, но посмотрите на перечисленные избыточные числа первой сотни! Не в пору ли усомниться в сказанном, где среди них нечетные числа? Их нет. Наименьшим избыточным числом является 12, это мы видим в приведенной таблице. Оказывается, избыточные нечетные числа более редкая вещь и чтобы найти наименьшее из них пришлось бы перебирать числа первой тысячи, так как наименьшим нечетным избыточным числом является 945, которое стоит на 386-ом месте среди избыточных чисел. В тексте будут попадаться задания для читателей отмеченные цифрой и знаком вопроса. На такие задания в конце книги даются ответы.
1?. Какое следующее по порядку нечетное избыточное число из бесконечного множества нечетных избыточных чисел?
Попробуйте найти сами. Подскажу только, что и во второй тысяче есть только одно нечетное избыточное число, в третьей тысяче их два и так далее. Довольно редкие создания. Если говорить о множестве всех натуральных чисел, то почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно установлено, что произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью, лежащей между 0,2474 и 0,2480.
Интересную