Teoría de la medida e integración. Rolando Rebolledo B.
href="#fb3_img_img_26827ac8-1fbb-55ec-a651-dd9efdeb1845.jpg" alt="Image"/> R(I) y f–
5. f
6. Si a < c < b, entonces f
7. (Cambio de variables). Sea φ unafunción biyectiva del intervalo [a, b] sobre [α, β], de clase C1 sobre ]a, b[. Para toda función f integrable en el sentido de Riemann sobre [α, β], la función t ↦ f(φ(t))|φ′(t)| es integrable y se tiene la igualdad1
8. Sean f, g
Demostración. Proponemos al lector que escriba completamente la demostración del teorema a título de ejercicio: a continuación le entregamos una rápida guía para hacerlo.
Se verifica fácilmente que las funciones escalonadas cumplen las distintas propiedades enunciadas en el teorema. Enseguida se trata de extender éstas a funciones arbitrarias, integrables en el sentido de Riemann. Esta extensión no presenta dificultades en el caso de las dos primeras propiedades. Para probar la tercera, observar en primer lugar que si α, α′, β, β′, son cuatro números reales, tales que α < α′, β < β′, entonces se cumplen las desigualdades siguientes:
Hay que tener en cuenta además que si f
De este modo se puede entonces probar la tercera propiedad del enunciado. La cuarta es un caso particular de la tercera y de la linealidad de la integral; la quinta, resulta de la cuarta y de la igualdad:
La sexta propiedad resulta de la observación siguiente: si [α, β] es un intervalo, 1[α, β](x) es su función característica,(aquélla que vale 1 si x
De esta relación resulta claro que g = |f| es integrable si y sólo si |f|1[a, c[ y |f|1[c, b] lo son. Pero,
Un cálculo directo permite probar que la fórmula del cambio de variables es satisfecha por las funciones f escalonadas. Para extenderla a las funciones integrables en el sentido de Riemann, la clave es probar primero que si se tiene una función real f definida sobre [a, b] y si (fn)n, (gn)n son dos sucesiones de funciones integrables tales que
entonces f
La demostración de esta propiedad se obtiene de la manera siguiente. Por la definición de la integral de Riemann, para todo n
y
para todo m
si m → ∞. Además se pueden escoger estas funciones escalonadas de modo que
para todo n
Una vez demostrada esta propiedad, el teorema de cambio de variables resulta por una aplicación directa de ella y del cambio de variables para funciones escalonadas.
Asimismo, la prueba de la última parte del teorema se obtiene por aplicación