Teoría de la medida e integración. Rolando Rebolledo B.
se expresa claramente como la integral de su diferencia; en el caso general, la aproximación por funciones escalonadas provee el resultado usando (1.34).
Nos preguntamos ahora qué tan extensa puede ser la clase de las funciones integrables en el sentido de Riemann. Sabemos que contiene a las funciones continuas salvo en un número finito de puntos, pero, ¿qué tanto más podemos relajar la condición de continuidad? Este problema fue planteado y resuelto por Du Bois-Reymond en 1882.
DEFINICIÓN 1.3. Un subconjunto N de la recta real se dice de extensión nula (más tarde diremos de medida nula) si para cada
TEOREMA 1.2. Sea f una función con valores reales definida en un intervalo [a, b] de
Demostración. Designemos por ω(f, E) la oscilación de f sobre un subconjunto E de [a, b] dada por la expresión
Observar que ω(f, E) ≤ ω(f, E′) si E ⊂ E′. Así, la oscilación de f en un punto x
Claramente f es continua en x si y sólo si ω(f, x) = 0. Entonces Df se escribe en la forma
Comenzaremos por probar que f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para cada p ≥ 1 el conjunto Ep = {x
Supongamos f
y la integrabilidad de f determina la convergencia a 0 de las sumas de (1.38) si n → ∞, de donde, para cada p fijo, ln(p) → 0. Esta última propiedad nos dice que Ep es de extensión nula para cada p ≥ 1.
Recíprocamente, supongamos Ep de extensión nula para cada p > 1. Entonces, dado
Pero, para cada j
La desigualdad (1.39) y (1.24) nos permiten concluir, ya que
Por último, para probar que Df es de extensión nula si y sólo si cada Ep lo es, se deja al lector el ejercicio de verificar las dos aserciones siguientes:
4. La integral de funciones con valores complejos
La integral de Riemann admite una extensión inmediata al caso de funciones complejas. Si f es una función definida en un intervalo [a, b] de