Fundamentos del diseño y la construcción con madera. Pablo Guindos
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3.5 Leyes elásticas constitutivas de la madera
Existen 4 relaciones elásticas constitutivas con las que se puede describir el comportamiento mecánico instantáneo de la madera, esto es la relación entre tensiones y deformaciones. Cuanto más compleja es una ley constitutiva, mayor es la precisión que ofrece, pero menor es su campo de aplicación. A continuación, se detallan las 4 leyes por precisión decreciente o aplicabilidad creciente:
Modelo de ortrotropía cilíndrica
Dado que la disposición de los ejes T y R ‘gira’ alrededor del plano transversal del árbol (formando la estructura radial del tronco), se dice que la madera presenta una ortotropía cilíndrica, lo cual responde a la definición espacial de un sistema de coordenadas cilíndrico en el que L es el eje de coordenada vertical z, R es el eje de coordenada radial ρ y T se corresponde con el eje de coordenada azimutal ϕ, ver Figura 3.5.
| figura 3.5 Los 4 posibles modelos elásticos de la madera, sus aplicaciones y sus constantes elásticas. |
Pese a que este es el modelo elástico más preciso, tan sólo se aplica en investigación y en casos muy concretos porque requiere conocer la posición de la médula en cada una de las piezas, lo cual resulta imposible desde el punto de vista práctico. Su aplicación resulta sin embargo especialmente interesante en problemas en los que la diferencia entre los ejes R y T resulta esencial en la respuesta mecánica, como por ejemplo el cálculo de tensiones derivadas por cambios de humedad.
Para definir completamente este modelo elástico son necesarias al menos 9 constantes elásticas independientes: EL, ER, ET, GLR, GRT, ELT y 3 coeficientes de Poisson, uno para cada plano (LR, RT y LT). Como las propiedades elásticas de un material se describen a través de la matriz de coeficientes Cij y ésta es simétrica, se obtiene que la relación entre los coeficientes de Poisson menores y mayores y los módulos elásticos, es constante. De ahí, que los 3 coeficientes de Poisson se puedan definir indistintamente como mayores o menores. De forma adicional a los 9 parámetros elásticos, también se precisa definir el sistema de coordenadas cilíndrico que definirá la orientación de los ejes materiales de la pieza de madera. El sistema debe cumplir la condición de que la coordenada radial (ρ) coincida con el eje R, la coordenada azimutal (ϕ) con el eje T, y la coordenada vertical (z) con el eje L. Los 6 módulos de rigidez suelen mostrar relaciones relativamente definidas entre sí para las distintas especies de coníferas y frondosas (latifoliadas).
Pese a que la normativa chilena solo especifica el módulo de elasticidad longitudinal EL., el anexo B de la NCh1198 establece unas relaciones elásticas que pueden ser aplicadas para aproximar el resto de módulos de Young, y módulos de cortante tal como se muestra en la siguiente tabla.
| tabla 3.5 Rigideces elásticas en relación al módulo elástico longitdudinal contemplados por la norma chilena NCh1198. | |||
| ER ≈ 0,08EL | Para especies coníferas | ER ≈ 0,14EL | Para especies latifoliadas |
| ET ≈ 0,05EL | Para especies coníferas | ET ≈ 0,08EL | Para especies latifoliadas |
| GLT ≈ 0,065EL | Para especies coníferas | GLT ≈ 0,07EL | Para especies latifoliadas |
| GLR ≈ 0,065EL | Para especies coníferas | GLR ≈ 0,1EL | Para especies latifoliadas |
| GRT ≈ 0,006EL | Para especies coníferas | GRT ≈ 0,032EL | Para especies latifoliadas |
Modelo ortotrópico (ortotropía rectangular)
La ortotropía rectangular consiste en ignorar la naturaleza cilíndrica del material y considerar simplemente 3 ejes mutuamente perpendiculares entre sí, lo cual supone identificar los ejes materiales de la madera L, R y T con los tres ejes de un sistema de coordenadas cartesiano convencional, esto es x, y y z respectivamente. La relación constitutiva se define como:
Donde igualmente por simetría se establece que:
Este modelo tan sólo resulta preciso y útil cuando se pretenden abordar 2 situaciones: (i) el cálculo de tableros y otros productos derivados de la madera, debido a que existe una dirección de producción y otra perpendicular de prensado, y por tanto suelen mostrar propiedades rectangularmente ortótropas. (ii) El caso de piezas de madera con anillos de crecimiento paralelos o perpendiculares a una de las caras, es decir cuando en la sección perpendicular de un madero puede asumirse que el radio de los anillos tiende al infinito (carecen de curvatura); sin embargo, en la práctica suele acontecer que la diferencia entre los dos ejes débiles de muchos tipos de tableros no es elevada, o los anillos de crecimiento se aprecian efectivamente como círculos, por lo que la aplicabilidad del modelo es muy reducida.
Los parámetros necesarios para la definición de este modelo elástico son los mismos que para el caso de ortotropía cilíndrica. La única diferencia reside en que en el anterior es necesario definir un sistema de coordenadas cilíndrico, mientras que en el presente modelo se debe definir un sistema rectangular o cartesiano (x, y, z), el cual se corresponda adecuadamente con la orientación material de la pieza.
Modelo de isotropía transversal
Dado que habitualmente se desconoce la posición de los anillos y la médula, y/o las diferencias mecánicas entre dos de los ejes suelen ser mucho menores que las diferencias respecto del tercer eje, lo habitual es tomar la simplificación de que T = R. Esto simplifica enormemente el cálculo sin perjudicar mucho la precisión. De este modo se habla de un único eje paralelo a las fibras (|| o 0), sobre el que se pueden generar esfuerzos cortantes paralelos a las fibras y un plano transversal, formado por ejes perpendiculares a las fibras en donde se pueden generar cortantes transversales y de rodadura (⊥ o 90). Las relaciones transversales se obtienen fácilmente a partir de las 9 constantes elásticas ortótropas:
Nótese que las constantes elásticas independientes se redujeron de 9 a 5 (E||, E⊥, ν||, ν⊥ y G||), debido a que el módulo cortante transversal puede ser calculado a partir de las otras constantes. De forma alternativa, también es posible fijar G⊥ como el módulo de rodadura3,20 y calcular a partir de este el coeficiente ν⊥, sin embargo esto no se recomienda para poder cumplir con criterios de estabilidad elástica. Por tanto, los parámetros necesarios para este modelo, son 5 constantes elásticas y la dirección de las fibras, la cual es normalmente conocida.
Ejemplo: calcular las propiedades transversalmente isótropas de Douglas Fir (Pseudotsuga menziesii) de origen norteamericano a partir de las relaciones elásticas. Solución: E||=10800 N/mm2 E⊥=637.2 N/mm2 ν||=0.37 ν⊥=0.39 G||=766.8 N/mm2 G⊥=229.3 N/mm2.
Dada la simplicidad, aplicabilidad y relativa precisión del modelo, este es sin duda el modelo más empleado y el que suele aplicar en el cálculo de todo tipo de productos y estructuras.
Modelo isótropo
El modelo