Ingenieurholzbau. Werner Seim
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Die Ableitung von Gl. (1.21) nach a ergibt
Mit Gln. (1.30) und (1.31) in Gl. (1.27) eingesetzt, lässt sich eine Bezeichnung zwischen der kritischen Bruchlast und der Griffith-Konstanten angeben:
(1.32)
Die zugehörige kritische Bruchlast beträgt:
Folgende Bezeichnungen wurden für diese Herleitung verwendet:
| u | Größe der Verformung zwischen den Kragträgern, |
| b | Breite der Rissfiäche bzw. des Bauteils, |
| a | Abstand der Lasteinleitung zum Ende des Einschnitts, |
| F | aufgebrachte Last, |
| E | E-Modul des Werkstoffs, |
| I | Flächenträgheitsmoment des Einzelquerschnitts, |
| k | Federkennwert des Biegeträgers, |
| c = 1/k | Federsteifigkeit, |
| d u | Änderung der Rissöffnung, |
| d a | Änderung der Risslänge, |
| d c | Änderung der Ersatz-Federsteifigkeit, |
| G c | Bruchenergie [J/m2] oder [N/mm]. |
Die auf eine infinitesimale Fläche bezogene Energiefreisetzung kann als spezifische Bruchenergie aufgefasst werden. Die Größe der Griffith-Konstanten lässt sich über die Fläche unter dem Last-Verformungs-Diagramm nach Abb. 1.4b veranschaulichen. Hier wurde eine bilinear vereinfachte Spannungs-Dehnungs-Beziehung verwendet, deren Flächeninhalt der spezifischen Bruchenergie entspricht. Die Bruchenergie des Holzes ist maßgeblich von der Rohdichte abhängig und liegt für Nadel- und Brettschichtholz etwa bei Gc = 0,3 N/mm2 für Zugbeanspruchung senkrecht zur Faserrichtung. Die Bruchenergie wird aus Versuchen ermittelt.
Die Gleichung für die kritische Kraft Fcrit zeigt, dass die maximal aufzubringende Kraft nicht direkt von der Querzugfestigkeit des Materials abhängig ist. Die bestimmenden Werkstoffparameter sind die spezifische Bruchenergie und der E-Modul. Eine zweite Erkenntnis aus Gl. (1.33) ist die starke Abhängigkeit der Bruchlast von der Querschnitthöhe. Dies zeigt, dass ein reiner Spannungs-Festigkeits-Nachweis der Bauteilgeometrie am Riss nicht ausreicht, da sich ein Maßstabseffekt ergibt, der bei der Bemessung zu berücksichtigen ist.
1.2.3 Anwendung der Bruchmechanik
Die im vorgehenden Abschnitt ausführlich beschriebene Vorgehensweise kann nun auf konkrete statisch-konstruktive Randbedingungen angewandt werden. Gustafsson (1988) leitet für das in Abb. 1.7 dargestellte Auflager eines symmetrischen Trägers mit der Breite b die kritische Last her:
(1.34)
Dabei berücksichtigt er die elastischen Anteile aus der Biege- und Schubverformung des Trägers mit dem Elastizitätsmodul Ex und dem Schubmodul Gxy sowie die zusätzliche elastische Verformung im Bereich der Ausklinkung als Kragarm bis zur Rissspitze. Die Beiwerte α und β beschreiben die Geometrie der Ausklinkung (siehe Band 1, Abschn. 2.8.3).
Dieser Term wird von Larsen et al. (1992) so umgestellt, dass die kritische Last als eine mit kvV abgeminderte Schubtragfähigkeit des reduzierten Querschnitts definiert wird.
(1.35)
mit
(1.36)
Aus Versuchen kann für das Verhältnis von Bruchenergie zur Schubfestigkeit ein Parameter kn angegeben werden und im Nenner kann für das Verhältnis von Ex und Gxy der Wert 16 eingesetzt werden. Damit erhält man kV in der in EC5 verankerten Formulierung
(1.37)
Abb. 1.7 Ausgeklinktes Trägerauflager.
1.3 Plastizitätstheorie
1.3.1 Einführung und Historie
Die Ermittlung von Schnittgrößen in Tragwerken und der daraus resultierenden Spannungen basiert auch heute noch fast ausschließlich auf der Elastizitätstheorie und auf den darauf aufbauenden baustatischen Verfahren, welche Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt wurden. Dies ist so, obwohl es in der Realität den bei der elastischen Berechnung vorausgesetzten Spannungsnullzustand nicht gibt, da die Tragelemente bei allen Konstruktionswerkstoffen herstellungsbedingte Eigenspannungen aufweisen. Bei Bauteilen aus Holz oder Holzwerkstoffen entstehen diese Eigenspannungen vor allem durch Quellen und Schwinden sowie durch die äußeren Kräfte, die bei der Herstellung von überhöhten oder gekrümmten Brettschichtholzträgern aufgebracht werden.
Erste Ansätze zur direkten Traglastberechnung gibt es seit Anfang des 20. Jahrhunderts, worüber Kurrer (2002) anschaulich und detailreich berichtet. Aus diesen ersten Ansätzen entwickelte sich die Plastizitätstheorie mit den beiden Grenzwertsätzen.
Der kinematische Grenzwertsatz definiert die Belastung eines Tragsystems, welches die Gleichgewichtsbedingungen und die geometrischen Randbedingungen mit einem kinematisch zulässigen Bewegungszustand