La Didáctica y la Dificultad en Matemática. Bruno D´Amore
las especificidades en este campo fueron tomadas (a veces inconscientemente) como prototipos por algunos estudiosos en un pasado reciente, incluso sin distinciones notables.
Por ejemplo, la diferencia entre el «saber» (conceptual) y el «saber hacer» (un híbrido no bien definido, entre lo algorítmico y lo estratégico) viene tomado como específico de la dicotomía: aprendizaje de conocimientos y aprendizaje de competencias. Hoy en día esta visión tan simplista y banal ha sido totalmente superada (D’Amore, Godino, Fandiño Pinilla, 2008).
Volviendo a la terna enunciada en 1.1. sobre la dificultad específica de algunos argumentos de la matemática hay poco que decir.
Por ejemplo, construir el conocimiento del objeto matemático «propiedad conmutativa de la adición en N» tiene siempre un resultado positivo desde los primeros niveles de escolaridad; mientras que construir el conocimiento del objeto matemático «fracción» tiene casi siempre un resultado desastroso (y no sólo en los primeros niveles de escolaridad). Esto significa que existen obstáculos epistemológicos para el aprendizaje (de algunos temas) de la matemática; a este argumento notable dedicaremos todo el Capítulo 2 de este libro.
Por tanto, que existan en el estudiante dificultades objetivas en el aprendizaje de la matemática es aceptado por todos; algunas de éstas son de origen sensorial o físico o neurológico de carácter objetivo y evidenciadas, de las cuales vamos a ocuparnos brevemente en el parágrafo 1.4.; otras son más sutiles y, en nuestra opinión, están estrechamente relacionadas con las dificultades del docente en la gestión de una determinada situación matemática en el aula. Esto se debe a que algunos problemas se esconden entre los pliegues de la gramática de la comunicación (o, más en general, de la interacción) humana. A estos problemas dedicamos unos párrafos de este Capítulo 1 y más adelante, con detalles más específicos, los Capítulos 3 y 4.
Pero hay dificultades mucho más difíciles de reconocer y de verificar, y que, por lo tanto, es más complejo remediar.
1.3. Dificultades ocultas en el aprendizaje de la matemática
A las dificultades más «sutiles» del aprendizaje de la matemática se han dedicado algunos de los más notables estudiosos de la materia.
Sólo para dar la idea de lo que se trata, nos limitaremos aquí a dos ejemplos.
Primer ejemplo.
Una de las dificultades más nefastas, revelada por Guy Brousseau, consiste en el hecho de que el docente se convence a sí mismo y convence a sus estudiantes de que lo que están haciendo en el aula es buena matemática aunque no lo sea en absoluto. Al pasar a otro nivel escolar, o la primera dificultad, o al cambiar de docente, esta situación revela las fallas que a la larga son insuperables. Para explicar de qué se trata recurrimos a un extenso pasaje de D’Amore (2007a):
«El docente propone a sus estudiantes un problema que él cree análogo a otro que había propuesto anteriormente, pero en el cual habían fracasado. Él espera que reconozcan la similitud y que utilicen las correcciones y las explicaciones que ha dado para reproducir el mismo método de resolución, a fin de afrontar con éxito la nueva situación. El docente recomienda encarecidamente a sus estudiantes que busquen y usen esta analogía. Este procedimiento es exitoso, tiene éxito desde el punto de vista del docente. Pero es, en realidad, un fraude epistemológico. El estudiante da una respuesta correcta, pero no porque él haya entendido la necesidad matemática o lógica a partir del enunciado, no porque haya “entendido y resuelto el problema”, no porque haya aprendido el objeto matemático, sino simplemente porque estableció una similitud con otro ejercicio, no ha hecho más que reproducir una situación hecha por otro. Lo que es aún peor, es que para el estudiante ésta era la solicitud del docente. Creerá haber comprendido la cuestión matemática en juego, mientras que no ha hecho otra cosa que interpretar una intención didáctica enunciada explícitamente por el docente y dar la respuesta esperada.
Este «abuso de la analogía» que Guy Brousseau ha puesto en evidencia a finales de los años ’70, y sobre el cual se basan muchas otras acciones didácticas en el aula, es una de las formas más corrientes de aquello que él mismo definió como «efecto Jourdain», uno de los efectos del contrato didáctico [al cual dedicaremos el Capítulo 4]. El docente obtiene la respuesta esperada con medios que no tienen ningún valor y hace creer al estudiante (a la familia, a la institución) que ha realizado la actividad matemática que era la meta a lograr.
La actividad del estudiante debe responder, por tanto, a dos limitantes incompatibles:
• aquella determinada por las condiciones a-didácticas que determinan una respuesta original y la organización de conocimientos específicos;
• aquella determinada de las condiciones didácticas que tienen el objetivo de producir la respuesta esperada independientemente de su modalidad de elaboración».
Este tipo de actividad produce situaciones aparentemente exitosas, mientras que se prepara el camino a fracasos sucesivos: una clamorosa dificultad que parece entonces inexplicable «Pero cómo, el año pasado iba tan bien en matemática y, por el contrario, este año…». »
Segundo ejemplo.
A la propuesta en el aula de efectuar una multiplicación entre binomios (x+1) (x-1), el estudiante X responde x2-1; el docente aprueba; a la propuesta (x+2) (x-2), el mismo estudiante X responde x2-2; respuesta ante la cual el docente queda perplejo. En general, el estudiante X ha entendido que (x+a) (x-a) es igual a x2-a. En el primer caso ha funcionado pero en el segundo no. Misterios de la matemática, percibida como casual. Si el docente se hubiera limitado a la primera prueba, habría concluido que X ha construido el concepto de producto notable; mientras que, por el contrario, X está muy lejos de éste.
A la misma prueba, el estudiante Y contesta x2-1, mientras que a la propuesta (x+2) (x-2), también Y contesta x2-2 porque ha operado así: (x+a) (x-a) obteniendo x2+ax-ax-a2 pero las dos ax se “simplifican” entre sí obteniendo x2+a-a-a2; después se “simplifican” también +a y -a2 obteniendo, exactamente x2-a.
El mismo error, que se manifiesta con una respuesta errónea, puede tener causas totalmente diferentes.
Esto sucede a menudo, pero si un docente se limita a mirar el resultado y no el proceso, no comprende que hay detrás de cada error.
Una vez más se confirma el hecho que un error es sólo la manifestación de un malestar cognitivo, pero no nos dice nada de la causa; por tanto, no está dicho que la respuesta correcta, aquella esperada, sea la demostración del éxito de la construcción del conocimiento.
Se convierte en decisión importante comprender no sólo cual es la dificultad, sino también su origen, ya que, como hemos visto, el error puede tener causas completamente diferentes.
Entre las técnicas difundidas para el análisis del origen de las dificultades, están las entrevistas, los TEPs, la bitácora, los «informes»,… instrumentos esenciales para diagnosticar y para la evaluación compleja de la actividad de aula (véase: Fandiño Pinilla 2006).
Sobre estos puntos, decisivos, sugerimos la lectura de Zan (2007).
1.4. Las dificultades, un análisis objetivo general 2
Los textos que consideramos fuentes principales para un uso correcto de términos y clasificaciones (a escala internacional) son los de la Organización Mundial de la Salud, actualmente en uso por los especialistas (médicos, neuropsiquiatras, psicólogos) de todo el mundo:
• Organización Mundial de la Salud (1994). ICD-10. Décima revisión de la clasificación internacional de los síndromes de los disturbios físicos y de comportamiento. Milán: Masson;
• Organización Mundial de la Salud (2001). ICF Clasificación internacional