La Didáctica y la Dificultad en Matemática. Bruno D´Amore
y, por tanto, el estudiante resulta orientado de manera tal que aún más es advertida como casual o contradictoria. (Sobre la epistemología implícita del docente, se pueden ver algunos artículos de Speranza, 1997; sobre las contradicciones epistemológicas que se revelan en el proceso de enseñanza - aprendizaje, véase D’Amore, 1987; sobre modernos análisis epistemológicos de las bases de la didáctica, véase D’Amore, 2003).
Por último, existen estudios clásicos que evidencian cómo expectativas creadas explícitamente y a priori por los docentes con respecto a la capacidad de los estudiantes elegidos al azar, vienen confirmadas a posteriori por la evaluación que los docentes dan a las actividades en el aula con los mismos estudiantes; lo cual es una fuerte demostración de que las convicciones (en cualquier sentido, no sólo epistemológicas) influyen significativamente la vida en el aula.
Aún más interesante es el hecho que estudiantes evaluados positivamente de esta forma realmente han mejorado sus resultados debido al aumento de la autoestima y a causa del deseo de conservar la estima de los docentes, los dos factores psicológicos ya vistos, pero que se entrelazan en una enmarañada madeja de interés excepcional.
Tal resultado se conoce como el efecto Pigmalión y fue revelado por primera vez en los estudios ahora considerados clásicos de Rosenthal, Jacobson (1968-1972), hoy muy citados (véase, por ejemplo, Canevaro, 1999).
Es cierto que en matemática los estudiantes cometen errores específicos que parecen no poder ser generalizados bajo una teoría general; a estos va reservada una función específica. Creemos, sin embargo, que incluso a pesar de esta especificidad, podemos encontrar generalizaciones útiles que ayuden a los docentes a tomar decisiones ya sea en su acción sobre la transposición didáctica, ya sea en la elección de la ingeniería didáctica, ya sea en la evaluación.
Ejemplo 1: Área y perímetro
Tanto el libro de Fandiño Pinilla, D’Amore (2007) como en las investigaciones que lo precedieron y lo hicieron posible (citadas en el libro), se evidencian errores de los estudiantes en la evaluación de las relaciones entre el área y el perímetro de figuras planas. No entraremos en mayores detalles. Nos limitaremos a decir que, por ejemplo, muchos estudiantes están convencidos del hecho de que, si dos figuras A y B tienen el mismo perímetro, entonces también tendrán la misma área.
Una investigación efectuada con los docentes de estos mismos estudiantes ha mostrado ampliamente que este preconcepto albergaba también en ellos; y esgrimen como excusa el hecho de no haber tenido más información o cursos específicos que negaran esta aparente obvia verdad16. Como se ve, de un lado las convicciones de los docentes influencian significativamente las de los estudiantes;17 y, del otro, la voluntad que existe de modificar sus propias convicciones, incluso el tipo de contenido.
Entonces, ¿cómo intervenir en este «error» específico? Primero verificando bien la transposición didáctica y la ingeniería didáctica, verificando casos posibles de errores de interpretación en la comunicación, no sólo de aquellas explícitas, sino también de aquellas implícitas y que a veces dejan una marca mayor.
Ejemplo 2: Fracciones
Tanto en el libro de Fandiño Pinilla (2005a), como en los trabajos de investigación que lo precedieron (que se mencionan en la bibliografía), como en los trabajos de investigación que lo siguieron (véase, por ejemplo, Campolucci, Fandiño Pinilla, Maori, Sbaragli, 2006), se evidencian infinidades de «errores» específicos hechos por los estudiantes que la literatura ha estudiado por décadas, clasificándolos desde un punto de vista netamente matemático y, por tanto, sin grandes éxitos didácticos.
Las investigaciones preliminares y tal vez, incluso más, las sucesivas, como la indicada, han mostrado ampliamente una vez más como los errores de los estudiantes tienen motivaciones y causas que residen en las convicciones de los docentes.
Por ejemplo, muy pocos de los docentes entrevistados han reflexionado sobre el hecho de que el típico «igual» que se menciona en la definición de las fracciones, cuando, precisamente, una unidad se divide en partes «iguales», es un término genérico que va interpretado según el contexto, por lo menos 12 contextos diferentes que el primer libro evidencia.
Por ejemplo, si se trata de dividir una figura plana en partes «iguales» en realidad quiere decir «equi-extensas»; si se divide un conjunto de personas en partes «iguales» en realidad se refiere sólo al número; si se divide un número en partes iguales, entonces se trata de realizar una operación de división (y a menudo es incierto si se habla de N o de Q, dado que en N la operación de división no es interna); si se divide una pizza en partes iguales, se hace referencia a una división abstracta que está fuera del contexto concreto al cual se recurre del objeto «pizza», porque «iguales» aquí tiene poco sentido concreto: nadie cortaría una pizza, por ejemplo, con un corte paralelo al plano del plato sobre el cual descansa, y nadie espera que las dos rebanadas de pizza obtenidas por un corte concreto, sean realmente «iguales» etc.
Las consideraciones que a este punto pueden seguir son totalmente idénticas a las hechas al final del ejemplo anterior y, por tanto, las omitimos.
Tendremos que hablar por mucho tiempo de la relación entre los conceptos (correctos) que se esperan del proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática y los misconceptos que se crean en la mente de los estudiantes o pre-existentes en la mente de los docentes. Muchos de estos serían ejemplos oportunos que podrían ser presentados aquí; sin embargo, el Capítulo 3 se dedica específicamente a este tema, con gran riqueza de ejemplos.
Pero volvamos a los métodos para remediar este estado de cosas.
El estudio cognitivo de los conocimientos reales de los estudiantes en un cierto dominio del saber matemático necesita de un análisis profundo y no basta una sola prueba o un sólo test, para llegar a una conclusión en este campo; valga para todos el siguiente ejemplo.
Niños de 5 años se colocan delante de una mesa sobre la cual se colocan 5 tacitas dispuestas en línea recta delante de los niños y 5 platitos, cada uno delante de una taza, por lo tanto, más cerca del grupo de niños.
Se pregunta a los niños: «¿Hay más tacitas o más platitos?». En el coro y sin duda alguna, cada uno a su manera, responden que las dos cantidades son iguales.
Ahora, ante la atenta mirada de los niños, dejando inmóviles los platitos, se dispersan las tacitas en la parte de la mesa comprendida entre los platitos y los niños, de modo tal que ocupen una superficie visiblemente más amplia que la anterior.
En este punto, se pregunta a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», con énfasis en las palabras en cursiva. En coro, sin duda alguna, los niños responden que hay más tacitas.
Hipótesis A: Fin de la actividad.
Conclusión: los niños confunden la cantidad numérica con el espacio ocupado o con el movimiento producido o con la abundancia de energía… y así sucesivamente.
Hipótesis B: La actividad prosigue.
Ante la mirada atenta de los niños, dejando siempre inmóviles los platitos, se disponen las tacitas exactamente igual a como estaban al comienzo, todas alineadas frente a su platito.
En este punto, se pregunta a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», haciendo énfasis en las palabras en cursiva. En el coro, sin ninguna duda, los niños responden, cada uno a su manera, que hay tantas tacitas como platitos.
Ahora, de nuevo, ante la atenta mirada de los niños, dejando siempre inmóviles los platitos, se esparcen las tacitas en la parte de la mesa entre los platitos y los niños, de modo de que las tacitas ocupen una superficie mucho mayor.
En este punto se pide una vez más a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», siempre haciendo énfasis en las palabras en cursiva. Y aquí, sucede el hecho nuevo: mientras todavía algún niño dirá que hay más tacitas, una gran parte