Los problemas de matemática en la práctica didáctica. Bruno D´Amore
solving se resuelve a partir de la adquisición de nuevas ideas que multiplican la aplicabilidad de las reglas ya aprehendidas. Como sucede en otras formas de aprendizaje, ésta se funda sobre las capacidades ya obtenidas; y no se ubica en el vacío, en la ausencia de cada conocimiento ulterior. La condición más importante para impulsar al sujeto a pensar y asegurarse de tener algo en lo cual pensar. El aprendizaje mediante problem solving lleva a nuevas capacidades ulteriores del pensamiento.
Sin abandonar a este autor (pp. 257-58):
Ciertamente una de las mayores razones para aprender reglas es su uso en la resolución de problemas. La actividad de problem solving es de tal suerte una extensión natural del aprendizaje de reglas, en la cual la parte más importante del proceso se desarrolla al interior del sujeto. La resolución puede ser guiada por una cantidad mayor o menor de comunicación verbal, proveniente del exterior, pero las variables más esenciales son internas. Es particularmente importante notar que los componentes que parecen posibilitar el problem solving son las reglas obtenidas precedentemente. El problem solving puede ser concebido como un proceso de descubrimiento por parte del sujeto de una combinación de reglas ya notas que éste puede aplicar para alcanzar la solución de una situación nueva y problemática. Sin embargo, no se trata solo de aplicar las reglas ya sabidas. El proceso también genera un nuevo aprendizaje. El sujeto está bajo o se encuentra en una situación problemática y recuerda las reglas precedentemente aprehendidas en el tentativo de encontrar una “solución”. Durante este proceso del pensamiento, éste probará cierto número de hipótesis verificando su aplicabilidad. Cuando encuentra una combinación particular de reglas que se adaptan a la situación, no solamente ha “resuelto el problema”, sino que también ha obtenido algo nuevo.
“Regla” sin embargo se debe entender en este contexto en sentido más amplio del que puede comúnmente venir a la mente, como veremos difusamente a lo largo del libro. Todavía una citación de la misma fuente (p. 265):
[…] la resolución de un problema jamás surge de la nada, sino que depende siempre de la experiencia precedente del sujeto.
Por lo tanto, la resolución de los problemas (o, como se dice habitualmente, también en los países de idioma español, el problem solving) es una condición óptima para el aprendizaje. Ésta es la tesis que acepto, aunque tendré que entrar en particularidades delicadas para analizarla profundamente, lo que requerirá varias decenas de páginas.
Sin embargo, hay que decir explícitamente que hasta aquí el problem solving se ha descrito de manera genérica (…) Surge espontáneamente la pregunta: ¿Qué caracteriza el problem solving en Matemática? En otros términos: resolver problemas no es una característica de las actividades matemáticas únicamente y nada nos impide pensar esta misma problemática en otros campos. Se pueden proponer dos tipos de actitudes:
1. el “contenido” es el que caracteriza; en esta acepción, “nuestro” problem solving es matemático porque nos ocupamos de problemas (a veces ejercicios) en el campo de la Matemática;
2. la “forma” en la cual el solucionador se propone es la que caracteriza; en esta acepción, paradójicamente, podremos tener problem solving matemático con contenidos no necesariamente matemáticos, o problem solving no matemático, pero con contenidos matemáticos.
La primera posición parece un poco débil, pero la segunda es difícilmente definible.
La posición asumida en el contexto de las investigaciones del Núcleo de Bolonia (y la mía personal) emergerá, lentísimamente, de las páginas de este libro y se trata de una especie de término medio entre las dos. Hay quien se ocupa del problem solving poniendo toda la atención a los procesos de “descubrimiento” y que parece al final más interesado en la actividad de resolución de ejercicios y no de problemas en el verdadero sentido de la palabra. Nos parece que se puede “descubrir” algo también frente a un ejercicio y que las “condiciones alrededor” sean las que determinan si se trata de descubrimiento o de otra cosa. Por otro lado, hay solucionadores de problemas para quienes el contexto es tal que su actividad no comporta de hecho descubrimiento sino mera aplicación.
Es obvio que en este punto se vuelve esencial definir bien el concepto de “problema”; ahora, si es cierto que en el primer capítulo enfrentaré un primer estudio sin profundizar sobre este punto fundamental, a vuelo de pájaro, también es cierto que la problemática no se extingue de hecho en el primer capítulo (el cual, en cambio, de acuerdo con mis intenciones, debe crear más (…) problemas de tipo interpretativo de los que puede resolver).
Como diré más adelante, el libro fue concebido a manera de espiral: qué es un problema es el argumento afrontado en el primer capítulo y NO resuelto allí. En cierto sentido, todo el libro es un intento por responder esta pregunta.
Cuando se habla de problemas, se disparan, entre los profesores de la escuela primaria, discusiones a propósito de:
• automatismos de cálculo (por ejemplo: tablas de multiplicar y similares);
• uso de las máquinas de cálculo (por ejemplo: ábacos, calculadoras, […]) (a favor, contrarios, más o menos, depende, […]);
• uso de otros instrumentos de cálculo más sofisticados (TIC).
A propósito de los automatismos de cálculo, sugiero la siguiente posición que exhibo desde siempre: si a las dificultades de resolución de un problema (de la comprensión textual a la elección de una estrategia resolutiva, como veremos de manera amplia y detallada) se agrega la dificultad de recordar cuánto es 7×8, ¡entonces sí que la actividad matemática se torna pesada! El aparente conservadurismo de quien propone adquirir automatismos de cálculo (acusación muy difundida en los primeros años de la década de los 70) se puede entender, en últimas, como un aligeramiento a favor de actividades más significativas. Luego, en cuanto al “cómo” (las tablas de multiplicar de memoria, o carteleras en las paredes que los niños u otra persona llenan diariamente, o algo más), el “estilo” del profesor y de los niños individualmente, podrían ser decisivos. Regresaré mucho más decididamente, en varias ocasiones, al problema de los automatismos de cálculo.
En cuanto a las máquinas calculadoras, he dicho y escrito mil veces, alborotando a veces avisperos, que el uso de las máquinas calculadoras no necesariamente lleva a la pérdida de la capacidad de hacer cálculos. Se puede incluso fácilmente demostrar que un uso inteligente y creativo de tal instrumento mejora las condiciones de la actividad escolar y facilita los cálculos; y lo demostramos con varias publicaciones (AA. VV., 1977).
A propósito de las calculadoras, en cambio, aquí un fragmento significativo:
Supongamos que debemos calcular: 0,18×75200+36500; digitando en orden las cifras y los signos de las operaciones, y al final la tecla =, una calculadora cualquiera de bajo costo puede dar el resultado correcto. Supongamos en cambio que debemos resolver el siguiente problema: Ángela dice a su papá: «Mido un metro y 32 centímetros»; el papá responde: «Yo soy 41 centímetros más alto que tú». ¿Qué tan alto es el papá de Ángela? Ninguna calculadora, ni siquiera una computadora, es capaz hoy de interpretar y resolver autónomamente un problema como éste, puesto en el teclado ¡tal como está “escrito”! La resolución de problemas matemáticos es tal vez la actividad matemática en la cual se constata con más claridad la brecha enorme de prestaciones que todavía separa el razonamiento humano del razonamiento que podemos “incorporar” en las máquinas. Esta constatación no es poco importante si se piensa en la importancia que tiene la resolución de problemas en la vida de todos los días y en muchas profesiones para comparar dos cotizaciones de seguros, hacer un presupuesto de gastos para unas vacaciones familiares, etc., es necesario individuar y resolver problemas en general bastante más complejos que aquel apenas citado; las calculadoras pueden ser de ayuda en la ejecución de los cálculos, pero las decisiones sobre los datos a tener en cuenta y sobre los cálculos a efectuar ¡no pueden ser delegadas a las máquinas existentes hoy en día! (Boero, 1990, p. 23)
No puedo más que hacer mía la posición de Paolo Boero expuesta aquí de manera muy convincente. Es extremadamente importante leer en el mismo texto también otros párrafos.