Los problemas de matemática en la práctica didáctica. Bruno D´Amore
utilizando reglas ya obtenidas, o en vía de consolidación y que, por lo tanto, entran en las categorías: refuerzo o evaluación inmediata. En cambio, los problemas involucran el uso de más reglas (algunas deben ser explicitadas precisamente en el momento) o una sucesión de operaciones cuya elección es un acto estratégico, a veces creativo, del alumno mismo.
Se entiende bien que las anteriores no son definiciones propiamente dichas: hay casos límite que se pueden interpretar en las dos posiciones. A mi modo de ver, se trata de un comportamiento que juega con los roles relacionales profesor-alumno, más que de una verdadera línea divisoria.
Tanto así que una situación problemática puede dar lugar a un problema o ejercicio según la situación didáctica. Veamos un ejemplo: se entrega un objeto circular plano (por ejemplo, la tapa de una olla) y se pide al alumno evaluar la longitud del contorno (una circunferencia).
En el primer año de primaria éste es un problema; en el grado octavo es (debería ser) un ejercicio.
Entran en juego también una serie de factores anexos:
• la motivación, como veremos más profundamente en el Capítulo 2, por la cual la distinción ejercicio/problema puede depender del comportamiento, de factores emocionales o emotivos, del rol que tiene la ejercitación en clase, del contrato que se ha venido creando, etc.;
• la mayor o menor cercanía de las situaciones problemáticas propuestas con la realidad. Me explico mejor. Usualmente los ejercicios de tipo escolar son del todo ficticios. Aquel Juanito que va al mercado con 600 pesos para comprar los huevos y que luego rompe 3, no existe y ningún niño de la clase se identifica con él: la situación es creíble, pero ficticia, nunca vivida. En cambio, un gasto para la excursión dividido entre 16 puede ser verdaderamente una situación problemática vivida en la realidad, a tener en cuenta para solicitar el análisis matemático. Se trata de decir correctamente los términos de la cuestión verbalmente (oral o escrito), hacerse una imagen mental, hacer que cada niño tenga un modelo matemático de la cuestión y, luego, pasar a la solución concreta: cuánto dinero debe pedir cada uno a sus padres para participar en la excursión.
No es necesario que la situación problemática sea experimentada en primera persona, la cosa es más sutil. En una clase de tercer año de primaria en la periferia de Bolonia, durante el segundo cuadrimestre, a instancia de ciertos discursos, se propuso el asunto de evaluar los gastos asumidos por la dirección didáctica en un año por concepto de energía eléctrica y calefacción. La situación problemática podría haberse considerado ficticia al principio, pero luego, mientras se procedió con el estudio de los recibos, la entrevista a un conserje, la visita a la empresa del gas, etc., la situación se enriqueció con la experiencia directa que la transformó de ficticia a real y concreta.
Decía que la motivación juega un rol no secundario: en un grupo interesado, la construcción de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (...), relacionada, en la historia y en las circunstancias, al aumento ideal de la población de las parejas de conejos de cría, sí es ficticia (porque en la realidad ninguno cría conejos en la ciudad y muchos niños nunca han visto un conejo real), pero con tal vínculo emotivo (el contexto se vivió con gran vivacidad) se convirtió en problema: cada uno quería dar su contribución personal que iba más allá de la simple operación aritmética (todo saben que cada número de la sucesión es la suma de los dos precedentes).
Queda aclarar, pero no es trivial, qué es la situación problemática en relación con el problema.
Apropósito de esto, tenemos más de una interpretación; escojo, por ahora, dos:
• la de Boero (1986), según la cual la situación problemática es «el significado del texto» (mientras que el texto es «un sistema de signos» que la codifica);
• la de Borasi (1984), según la cual la situación problemática es «el contexto en el cual el problema propuesto tiene sentido».
Propongo una definición más amplia, en alternativa:
la situación problemática es el sistema de las competencias reales en las cuales se puede imaginar todo aquello descrito en un texto y su significado (semántica), dentro de la experiencia del niño individual (el sistema es específico para el problema dado).
Con esta definición, la situación problemática recuperaría aspectos semánticos, pragmáticos y experienciales.
El lector debe aceptar el hecho que en esta materia no encontrará definiciones precisas, como en Matemática; aquí se delinean tesis y conceptos en la manera más detallada posible, llevando al examen de la propia idea, no demostraciones o pruebas irrefutablemente unívocas, sino solicitudes traídas desde la experiencia personal de estudiosos o investigadores de la Didáctica de la Matemática.
Llegaré a proponer varios modelos relacionados con la resolución de problemas. Pero es muy temprano; para poder describirlos necesito de otros materiales.
Aquí quiero todavía recordar la importancia que cobra, tanto en la resolución de los ejercicios como (y aún más) en la de los problemas, la formalización del lenguaje común en términos matemáticos. Una vez el texto es bien entendido y se hace una imagen mental (personal), puede ser útil (y, de hecho, en la mayoría de los casos lo es) “matematizar” la situación. Muy a menudo, esto implica la traducción del lenguaje común al lenguaje matemático.
Por ejemplo, en el ejercicio de los huevos que compró Juanito, la solución es, formalmente: 600:30–3. En el caso de la conjetura de los números pares, se trata de demostrar que:
(∀x)(x=2n /\ n>1)→[(∃y)(∃z)(x=y+z) /\ (∀h)(∀k) (¬∃m)(m≠l /\ m≠y /\ y=mh) /\ (¬∃p)(p≠l /\ p≠z /\ z=pk)] [x, y, n, z, h, k, m, p ∈ N]
La primera formulación aparece en términos aritméticos muy elementales; la segunda en términos de formalización lógica, un poco más compleja.
Pero entonces ¿Qué es un problema? ¿Existe una definición?
No puedo más que recordar (por ahora) la célebre frase de uno de los más conocidos estudiosos de la resolución de problemas matemáticos, George Polya (1945):
Resolver problemas significa encontrar un camino para salir de una dificultad, un camino para reaccionar ante un obstáculo, para lograr un fin que no sea alcanzable inmediatamente. Resolver problemas es una empresa específica de la inteligencia y la inteligencia es el don específico del género humano: resolver problemas se puede considerar la actividad más característica del género humano.
Propongo también la afirmación de Karl Duncker (1945), quien evidencia exclusivamente el objetivo:
Surge un problema cuando un ser viviente tiene una meta, pero no sabe cómo alcanzarla.
[Una colección de respuestas a la pregunta «¿Qué es un problema?» se encuentra en Ferri (1989)].
Como se ve, no hay definiciones sino precisiones, puntualizaciones, clarificaciones: no hay problema si no hay una situación problemática que cree una pregunta, cuya la respuesta sea, por alguna razón, causa de dificultad.
Nota bibliográfica
Para la redacción de esta sección, además de los textos ya citados, hice uso también de (Antiseri, 1985; Borasi, 1984, 1986a; Duncker, 1969; Polya, 1954; Petter, 1985; Aebli, 1961).
1.2. Resolución de problemas, formación de conceptos y “teoremas en acto”
Con ese título, esta sección requeriría un libro por sí sola; empezaré a tratar esta problemática aquí para después retomarla varias veces más adelante, de manera más o menos explícita y refiriendo textos oportunos.
En una didáctica moderna, no se requiere un comportamiento pasivo por parte del alumno: «Haz esto y esto en una situación de este tipo»; en cambio, se requiere y se favorece un conocimiento activo que se transforme en “saber qué hacer” (lo podemos llamar “eficiencia”).