Los problemas de matemática en la práctica didáctica. Bruno D´Amore
N. R. F. Maier, el cual describiré en breve.
Los resultados de tales experimentos se pueden condensar de la siguiente manera: se produce un efecto positivo en el sujeto que resuelve si se dice exactamente la naturaleza de la actuación (performance) que de él se espera; incluso si no se hace explícitamente, se puede dar una guía en cuanto a la elección de reglas (normas, experiencias, […]) que son útiles para escoger la estrategia, mediante la formulación del problema.
Toda la actividad y la atención del problem solving radican en la resolución.
De otra naturaleza, pero siempre dentro de la misma problemática, es la actividad del problem posing. Esta actividad involucra dos maneras diferentes, pero estrechamente interconectadas, de actuar:
• la creación de un problema basado en la reflexión relativa a un tema de examen;
• la propuesta de las preguntas que analizan situaciones “limítrofes” (externas pero cercanas) a un problema de examen.
Los autores del texto que volvió famoso el problem posing, S. I. Brown y M. I. Walter (1988), distinguen dos modos de actuar diferentes:
• hacer o hacerse preguntas
• preguntarse siempre «¿Y si (...) ?», o «¿Y si no (...) ?»
lo cual da muy buena cuenta de la cuestión.
Una reducción didáctica trivial del problem posing es la actividad consistente en hacer que los alumnos inventen los problemas: ésta ha sido ampliamente estudiada en la investigación en Didáctica de la Matemática y tendremos ocasión de entrar en detalles. Pero el problem posing, en su formulación más general y genuina, debe llevar a nuevos problemas, si bien generados a partir de aquellos presentes en situaciones anteriores. Este tipo de actividad lleva a generar un descubrimiento y en este sentido, a mi modo de ver, se asemeja mucho al que los estudiosos del problem solving han resaltado.
Dado que tendré que retomar este argumento en la siguiente sección, me limitaré a presentar este boceto a manera de resumen.
Experimento del péndulo de Maier del 1930, (Gagné, 1973).
El sujeto examinado es conducido a una habitación de 5 m por 6 m aproximadamente, en la que hay una mesa de trabajo. El sujeto tiene a su disposición tablillas, pedazos de hilo, tiza y abrazaderas. El problema es descrito en estos términos: construya dos péndulos, de manera que cada uno, oscilando y teniendo en cada extremidad una tiza, marque un punto establecido sobre el piso.
Para ilustrar mejor el problema, he aquí la representación de una buena solución proporcionada por sujetos sometidos a la prueba.
Con algunos sujetos, Maier usó la estrategia de recordar problemas precedentes que, en este caso, son, por decirlo así, sub problemas:
• cómo se hace una plomada, teniendo a disposición hilo, abrazaderas y tiza;
• cómo hacer un poste largo, teniendo a disposición dos postes cortos y una abrazadera;
• cómo anclar al techo un objeto prensado entre dos postes.
Maier hizo sugerencias sobre la resolución presentando otro problema: el problema sería más simple si existiese una puntilla y se pudiera clavar un poste al techo. El experimento de Maier mostró cómo las instrucciones adicionales, que permiten recordar soluciones parciales precedentes, llevaron a los sujetos a la resolución del problema con mayor frecuencia, en comparación con aquellos que escuchaban solo el enunciado del problema sin ayudas adicionales. La sugerencia sobre la puntilla (que Maier llamó “dirección”), favorecía más la probabilidad de resolución.
Nota bibliográfica
Para la redacción de esta sección, utilicé (Dewey, 1910; Aebli, 1961; Katona, 1967; Gagné, 1973; Brown, Walter, 1988).
1.4. Problem solving, problem posing y descubrimiento
Empezamos con un ejemplo:
Dados dos triángulos equiláteros, encuentre un tercero, cuya área sea igual a la adición de las áreas de los otros dos. (Tomado de: Brown, Walter, 1988, p. 157).
Dentro del espíritu del problem posing, en cada intento por resolver el problema propuesto se cumple un análisis preliminar. Cada alumno tiene su propia reacción. Se puede notar que faltan datos y por lo tanto preguntar cuál es la naturaleza de la pregunta; ¿Cuál(es) de la(s) propiedad(es) de los triángulos entra(n) en juego?, ¿se espera una solución geométrica (un dibujo), o una numérica? Es claro que cada solucionador puede escoger la estrategia más adecuada de acuerdo con su propio “estilo”. Por ejemplo, un alumno puede decidir que va a estudiar un caso particular con los triángulos dados, uno de lado 3 y el otro de lado 7 y proceder de tal manera, haciendo un dibujo y recortando pedazos de cartulina (el cálculo sugerido por los autores no es, ciertamente, adecuado para niños de escuela primaria, pero quiero resaltar un espíritu independiente de estas contingencias) o usando un software geométrico a este propósito. Sin embargo, pero, aunque se haya encontrado una solución (aproximada), ¿qué sucede si se cambian los datos inventados, 3 y 7?
Lo que quiero subrayar aquí es que el problem posing es una forma de ubicarse dentro del problem solving y que, por ende, las dos problemáticas no son opuestas, sino bastante cercanas. “Plantear un problema” es solo una manera de comprenderlo mejor, de analizarlo mejor; hacerse preguntas que parecerían (…) rebotar la solicitud, puede significar entrar en mayor confianza con el problema.
Por tanto, si se llega a la resolución del problema, el problem posing tiene un efecto a posteriori, porque las preguntas sobre el problema y sobre la solución proporcionada no cesan: ¿se podría hacer de otra manera?, ¿se podría usar otro dato?, ¿hay una manera general de resolver esta cuestión?, ¿alguien ha inventado este método?, ¿cuándo y por qué se planteó este problema? (…) En una situación simétrica se plantea el efecto a priori que es sustancialmente el análisis de todos los detalles del problema antes de proceder con la solución.
En definitiva, el problem posing se ubica dentro de la amplia problemática del problem solving y no se limita a ser simplemente interpretado como un “hacer que los niños inventen problemas”, actividad que, entre otras cosas, es significativa si se conduce de manera motivada y prudente.
A mi modo de ver, dentro de los ejemplos dados por los Autores citados, es pertinente hablar del célebre caso del niño Gauss, muy famoso en las escuelas italianas:
Calcular la suma de los números naturales de 1 a 100.
Es bien sabido que el procedimiento usado por Gauss es el siguiente: se observa que 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, y así hasta la última adición 50+51=101. Por lo tanto, la suma buscada se puede expresar como 50 veces 101. Éste es un buen ejemplo del problem solving que utiliza una manera de entender el problem posing, según lo que se ha dicho antes. En cambio de hacer lo que parece sugerir el texto del problema (es decir una secuencia absurda de cálculos 1+2=3, 3+3=4, 4+4=8, 8+5=13, haciendo 99 adiciones), analizamos el problema con “y si (...)”: «Y si en lugar de adicionar en orden, sumo el primero y el último, ¿qué encuentro?».
Entonces: se descubre una regularidad.
Se obtiene una regularidad adicionando en escala ascendente/descendente: hemos descubierto una regla («Una trampa» como dicen los niños). Pero para hablar de una regla, o de un descubrimiento, y proporcionarle dignidad en el mundo de la Matemática, es preciso que ésta sea general: ¿es siempre válida?, ¿si en lugar de 100 fuera 167?, ¿si en lugar de 1 partiéramos de 34?, ¿si en lugar de un número par tuviéramos un número impar? Y así sucesivamente.
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