Los problemas de matemática en la práctica didáctica. Bruno D´Amore
notables relacionadas con hechos formales son aquellas gráficas: la posición de los signos de las fracciones y de los exponentes con respecto a la base, la distinción entre los niveles de los paréntesis (redondos, angulares, corchetes), etc. Puede parecer superficial, pero en la base del aprendizaje de nuevos signos matemáticos y sus funciones específicas siempre hay una distinción: pasarla por alto, por considerarla obvia, puede ser (es) un grave error didáctico.
• Tipo VI: conceptos. Hay conceptos en la base de las adquisiciones matemáticas que son tan familiares y simples que pueden ser considerados obvios: similar, igual, diferente, agregar, quitar, etc. Si se piensa un poco, se descubre que tales conceptos se encuentran en los fundamentos de las operaciones aritméticas, de la descripción y el reconocimiento de las formas geométricas, etc., en fin, de los elementos sobre los cuales se cimienta el entero edificio matemático. Descubrir los conceptos básicos y verificar explícitamente su asimilación (teniendo como objetivo su aprendizaje) es una actividad didáctica de obligatorio cumplimiento. En el pasado, el concepto de conjuntos (y sus sinónimos) fue ampliamente impulsado y, junto con éste, el concepto de elemento. Hoy en día, cuando el entusiasmo excesivo por los conjuntos ha pasado, es aún fundamental, a mi modo de ver, la distinción entre términos colectivos y términos singulares (los cuadrados, aquel cuadrado; los números, el tres). También es obvio que la experiencia juega un papel fundamental en la adquisición de conceptos.
• Tipo VII: reglas. Se trata de un aprendizaje matemático primordial tan evidente que necesita poca explicación. Parece ser casi una peculiaridad de la Matemática, si se pone atención a lo que se dijo anteriormente sobre el término “regla”. Varios autores han contribuido al estudio psicológico del aprendizaje de reglas, entre los que recuerdo a Resnick (1967).
• Tipo VIII: problem solving. Aquí, no hay necesidad de decir otra cosa: todo el libro está dedicado a este tema. Al cual llegaremos paso a paso.
Nota bibliográfica
Para la redacción de esta sección se usaron (Gagné, 1965 [en la edición italiana, ver las pp. 55-96 y 281-324; ejemplos matemáticos (algunos por demás discutibles), pp. 292-302]; Resnick, 1967; AA. VV., 1983 [en particular los capítulos de P. Boscolo, de M. S. Veggetti y de C. Pontecorvo]; Aglì, Martini, 1995; De Zwart, 1983; Hughes, 1982; Pontecorvo, 1983, 1985; Pontecorvo, Pontecorvo, 1985; Sastre, Moreno, 1976).
Se puede encontrar una amplia panorámica de los diferentes modelos de aprendizaje, integrados a los respectivos esquemas de enseñanza que de ellos resultan, en (Ballanti, 1968). La autora dedica las cinco partes del libro al «Desarrollo», la «Adaptación evolutiva», la «Mente», el «Comportamiento y condicionamiento» y finalmente a los «Procesos y secuencias». A mi modo de ver, se trata de un proyecto sistemático de interpretación y lectura que cualquier estudioso de cuestiones didácticas debe conocer.
Asumiré como un emblema de mi punto de vista un fragmento de una célebre obra de R. A. Hinde de 1974 con el cual inicia el libro (Ballanti, 1968): «Es por demás inútil decir que el desarrollo de todas las características que conforman el comportamiento depende tanto de la naturaleza como del ambiente. Ningún carácter depende solamente de los genes o del ambiente».
Parecería de gran importancia disponer de una metodología objetiva capaz de evaluar la eficacia del trabajo desarrollado en la escuela o, en términos más generales, del esquema de enseñanza adoptado; ver (Mariani, 1991).
No se deben olvidar los aportes a los estudios sobre el aprendizaje adelantados por la ciencia cognitiva; para tal propósito, se puede leer la sección 5.4. de (Bara, 1990). Allí, se habla de aprendizaje de primer orden relacionado con el conocimiento tácito donde se sitúa la idea de aprender a aprender; ver también (Bateson, 1976); en esto se encuentra sobre todo la descripción de programas que estimulan el aprendizaje y su evolución histórica. Tendré la ocasión de volver en detalle sobre este tema en más de una oportunidad.
Con una posición muy diferente a la de Gagné, sobre la creación de los conceptos se sitúa (Aebli, 1961, pp. 228-255).
Ver también (Boscolo, 1986b), útil en términos generales y en los términos específicos aquí tratados en las pp. 8-10 (Gagné), 11-12 (Bruner), 13-22 (perspectiva cognitivista): una panorámica breve pero eficaz.
Como dice un proverbio chino asumido como lema del Proyecto Nuffield en los años 70-80, es obvio que “si hago, aprendo”. Pero ese “hacer” puede ser concreto o abstracto y nadie ha dicho que el segundo (abstracto) sea menos productivo que el primero (concreto).
[Sin ir hasta la antigua China, el napolitano Giambattista Vico (1668-1744) afirmaba «verum ipsum factum» lo que esencialmente expresa la misma posición].
Dado que siempre he defendido los laboratorios de Matemática como un lugar para “hacer”, y dado que me parece una tesis evidente, evitaré entrar en detalles, por lo que me limitaré sobre este tema a las referencias bibliográficas al final de la sección.
En cambio, resaltaré un ejemplo de Vergnaud (1981a). Supongamos que hay unas barras incrustadas una sobre la otra, como se indica en la figura, y que haya que extraer la barra A.
¿Qué se debe hacer?
Dado que se pide un “hacer”, es decir una acción, es evidente que hacer varios intentos es un comportamiento espontáneo. «Intento sacar la A, pero no se mueve. Bien: dado que A está bloqueada por F, sacaré la F; pero la E está libre; podría sacarla; (…)» y así sucesivamente.
Claro que es un ejercicio útil dentro de lo que se podría llamar un cálculo de las relaciones: para sacar A, primero se debe extraer F; pero (…) Me parece que no se acentúa suficientemente lo que es inútil hacer: «Si quiero sacar A, es inútil extraer E». Me parece que este dualismo: “es necesario / es inútil”, acierta la dimensión exacta y significativa del sentido que tiene el orden de las operaciones a seguir.
Solo que, si se hace el estudio en forma concreta, a mi modo de ver, se pierde mucho. Una vez hecha una acción, ésta perdura a manera de efecto en la memoria solo durante el tiempo de la acción y por lo tanto no puede influenciar la consciencia profundamente. En casos de este tipo, parece muy fructífero resolver el problema de manera puramente mental, si acaso reforzando la resolución con expresiones verbales, orales o escritas: «Si quisiera sacar A, primero debo extraer F; en realidad, no lo hago, pero supongo que lo quiero hacer; si quisiera extraer F, antes debo (...)». Entonces, hay aprendizajes operativos que no pasan a través de una operación concreta, “realizada”, sino solo imaginada. Esta modalidad refuerza el aprendizaje, favorece la imaginación y obliga a tener una expresión verbal coherente y significativa.
También en la fase de ejecución de los problemas, es esencial que exista el hábito de hacer explícitas las diferentes fases de la resolución, lo que es una forma segura de estudiar significativamente las estrategias resolutivas reales y, niño por niño, el estilo de quien resuelve. (Sin embargo, el análisis crítico de los protocolos de observación y las entrevistas son también “formas” válidas).
Favorecer la imaginación operativa hace posible resolver problemas particularmente difíciles. Tomo prestado otra vez una idea de Vergnaud (1981): «Miguel tiene una vasija con dulces. Inés toma 15 para ella. José le da a Miguel otros 9 dulces. Ahora, Miguel tiene en total 63 dulces ¿Cuántos tenía al principio?».
Niños de tercero de primaria que no tienen el entrenamiento para imaginar la solución, en un porcentaje muy alto, no saben resolver el problema. Niños de la misma edad, entrenados para “ver la situación”, imaginan operativamente las diferentes escenas y hacen las cuentas a la inversa (aunque no formalizándolas): «Cuando José da los nuevos dulces a Miguel, Miguel tiene 63-9 o sea 54. Cuando Inés toma 15 dulces, Miguel tenía 54+15 o sea 69». Operativamente, paso a paso, imaginando las escenas, el porcentaje de solución aumenta notablemente.
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