Los problemas de matemática en la práctica didáctica. Bruno D´Amore

Los problemas de matemática en la práctica didáctica - Bruno D´Amore


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      ¿Cuánto puede ayudar este esquema a la solución dada por los niños? Ayuda mucho en el caso de niños no entrenados a imaginar (el porcentaje de soluciones aceptables pasa, en nuestros experimentos, de casi cero al 60%); ayuda poco en el caso de niños entrenados para imaginar, en el sentido en el que estos niños ya eran buenos en la actividad de resolver este tipo de problemas y por lo tanto el esquema tiene sí una incidencia, pero ésta no es sustancial. De tal manera que el esquema ayuda sobre todo a quien no sabe ayudarse solo.

      [También hemos intentado hacer el proceso inverso: dar el problema con el esquema sugerido; entonces, el porcentaje de respuestas correctas (siempre de niños de tercero) es inmediatamente más elevado. Al dar un problema análogo, sin esquema, muchos niños reutilizan uno parecido al entregado anteriormente (en este caso se ve una discreta transferencia de aprendizajes) resolviendo así el problema en un buen porcentaje. Solo que (…) Intentamos dar un tercer problema, para el cual el esquema anterior no tenía ningún sentido. Entonces, constatamos que los niños que siguen un programa de enseñanza usual, aún antes de analizar la solicitud del texto, dibujaban el esquema, adoptando una especie de regla: «Si el esquema gráfico funcionó dos veces, ¡funcionará siempre!». Detrás de este comportamiento está la idea del contrato didáctico en cuanto “el niño tiene la expectativa de modalidades repetitivas”].

      Tendremos que volver largamente sobre estos temas, de manera más profunda y desde diferentes puntos de vista.

      Sin embargo, antes de proceder, me gustaría resaltar que el problema de Miguel y los dulces parece involucrar con fuerza el concepto de incógnita; quien resuelve se debe hacer una imagen mental fuerte de esta idea: ¿qué debo encontrar exactamente? Y aquí hay dos incógnitas, una que resuelve el problema final y una intermedia, por decirlo así.

      Es importante evaluar también este aspecto en el estudio específico de este problema (u otros análogos).

      Nota bibliográfica

      Para la redacción de esta sección, utilicé (Vergnaud, 1981a; D’Amore, 1988c; D’Amore, 1990-91; Caldelli, D’Amore, 1986).

      Otros textos básicos (D’Amore, Marazzani, 2011; D’Amore, Persano, 1985; D’Amore, Sandri, 1991).

      Para un fundamento pedagógico sobre el uso de los laboratorios, ver (De Bartolomeis, 1979)

      En la sección 1.5. vimos como varios autores, en particular Gagné, proporcionan, por así decirlo, una jerarquía de los aprendizajes, distinguiéndolos desde los más simples (aquellos que se hallan también en los animales) hasta los más complejos. Si aprender a resolver problemas significa en gran medida utilizar conceptos aprendidos, entonces también la escala propuesta por L. E. Bourne (1966) nos puede proporcionar una reflexión útil sobre el tema; Bourne propone 4 tipos fundamentales de tareas conceptuales:

      • aprendizaje de atributos: dando un estímulo y proponiendo posibles atributos, el sujeto distingue entre éstos; es un tipo de aprendizaje que está relacionado con la percepción (la individuación de las características típicas de un objeto, aquellas que lo hacen diferente de los demás) y la etiqueta (labeling) (se asocia un sustantivo a un objeto-estímulo);

      • uso de los atributos: es la fase sucesiva; hay atributos que el sujeto ha individuado y que, por lo tanto, se encuentran a su disposición; ahora el sujeto escoge aquellos atributos que hacen que el objeto sea parte de un conjunto o categoría (esto sustancialmente es la “tarea de identificación del concepto de un determinado tipo” de Bruner, 1960);

      • aprendizaje de reglas: mediante la experiencia, el sujeto aprende reglas comunes para ciertas clases de situaciones;

      • uso de las reglas: a su vez, las reglas son un instrumento para adquirir un comportamiento conceptual; éste es el clásico caso de la resolución de problemas. Aún dentro de sus límites (señalados por Boscolo, 1986, pero también por el mismo Bourne), esta clasificación es útil aquí solo para ampliar el panorama de los estudios sobre el tema de las jerarquías del aprendizaje que han fascinado a los psicólogos.

      Algunos de ellos han afrontado temas muy particulares; por ejemplo, Gagné, Mayor, Garstens y Paradise publicaron en 1962 una investigación sobre las jerarquías relacionada con la adición de los números naturales (ver Resnick y Ford, 1991, pp. 39-41); Gagné y Briggs (1974) estudiaron la sustracción de números naturales (ídem); etc.

      Si bien muchos lectores críticos tienden a despreciar estos análisis (creo que lo hacen sobre todo los lectores matemáticos), es necesario reconocer que tienen al menos una función: hacer reflexionar sobre la complejidad de algo que, desde cierto punto en adelante, se podría pensar que posee el mismo nivel de dificultad, tanto como para sugerir que no hay diferencia entre los casos. En definitiva: ¿es la sustracción en sí la que presenta dificultades conceptuales o son los casos individuales, o son las modalidades en las cuales se presenta que plantean dificultades de diferente tipo? Parecería que la segunda posición no es del todo trivial. Las habilidades estudiadas son habilidades de desempeño es decir lo que el sujeto sabe hacer en casos particulares (dado que no se hacen preguntas abstractas o generales sobre la sustracción, por ejemplo, en sí, pero se proponen situaciones). Sin embargo, Gagné en particular, pero también otros autores, llegan incluso a sacar conclusiones sobre las habilidades intelectuales, las cuales nos interesan más. Además: la naturaleza de las jerarquías de aprendizaje es tal que se pueden distinguir tareas subordinadas a otras y que son componentes de actividades de orden superior; se tendría por lo tanto una especie de aprendizaje no solo en forma de espiral sino también en forma de escalera, en la cual cada peldaño es necesario para poder dar el paso sucesivo. Sobre este tema (denominémoslo “teoría de los prerrequisitos”) ha trabajado por ejemplo Flavell (1972); las capacidades iniciales se transforman en elementos fundamentales para capacidades sucesivas; algunos desempeños y comportamientos fundamentales en el pasado pueden desaparecer del comportamiento de un niño que, después de algún tiempo, ya no tiene necesidad de dar los mismos pasos. Flavell concibe esta jerarquía como una forma de conceptualizar la Matemática misma (más allá de su aprendizaje). También es cierto el hecho que, si una tarea ocupe una posición elevada en una jerarquía de aprendizaje, no significa que sea más difícil de aprender o que requiera más tiempo que tareas anteriores; sin embargo, su posición en la jerarquía de todas maneras indica la “riqueza” de sus componentes. Al contrario, puede muy bien suceder que las tareas de nivel inferior sean las más difíciles de realizar por motivos de edad, falta de hábito u otros. En un estudio de Carroll de 1973, se muestran ejemplos concretos de todo esto: si una tarea considerada muy difícil se descompone en todos sus elementos elementales y el sujeto posee estos elementos, el último “peldaño” se vuelve sencillo y el niño puede realizar la tarea solo y en tiempos breves. Es más, le quedaría fácil transferirlo de una red compleja de peldaños inferiores hasta llegar al último peldaño. Hay que decir que con frecuencia los peldaños inferiores de una jerarquía son los fundamentos de muchos otros aprendizajes y por lo tanto se prestan a transferencias sucesivas incluso en otros ambientes conceptuales: saltarlos para proponer inmediatamente actividades complejas podría ser un error, ya que se eliminarían las bases para otras escalas del aprendizaje. La palabra clave que emerge de estos estudios se puede resumir así: ir de lo simple a lo complejo, en la práctica didáctica.

      Sin embargo ¿quién nos puede asegurar que todo esto sea correcto, que tenga sentido, que sea aceptable y funcional?

      Muchos psicólogos han dedicado amplios estudios a verificar la validez de estas jerarquías de aprendizaje. Según la técnica usada, podemos distinguir estos estudios en dos categorías: estudios escalares (scaling study) y estudios de adestramiento (training study).

      En un scaling study se somete a un grupo de estudiantes a test relativos a los prerrequisitos de una tarea que debe ser objeto de estudio; cada alumno recibe un puntaje + o – en cada “peldaño” (habilidades componentes). Entonces, los estudiantes se organizan del “mejor” (el que tuvo más +) al “peor” (el que obtuvo más –).


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