Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf
El coste efectivo de la operación.
Respuesta: a) 19.376,98 b) 3,21%
19. Se descuenta un documento de 2000 € en un banco cuando faltan 35 días para su vencimiento, y se ha pactado una tasa nominal anual de descuento del 20 %. Se desea saber el valor presente del documento y el descuento que se sufre en dicha operación.
Respuesta: 1.961,64 y 38,36
20. Es común que muchos bienes y servicios se ofrezcan con un precio de lista (normalmente se puede abonar el mismo con tarjeta de crédito) y un descuento por el pago al contado. Calcule el coste financiero implícito incluido en la siguiente lista de precios, suponiendo que la liquidación de la tarjeta de crédito debería abonarla 30 días después de la compra:
| Precio contado75 | Precio lista (con tarjeta)100 |
Respuesta: 33,33 %
21. Determinar el coste efectivo de una operación de descuento de un pagaré de 100.000 € con vencimiento a los 30 días, si se recibió después de descontarlo de la suma de 80.000 €.
Respuesta: 25 %
22. Calcular el vencimiento medio de tres documentos por 6.000, 10.000 y 8.000 € con vencimiento en 9, 5 y 8 meses, siendo la tasa de interés la misma en todos los casos.
Respuesta: 7 meses
23. Una persona debe afrontar los vencimientos de los siguientes documentos (descuento comercial):
6.000 € a 30 días de plazo
4.000 € a 60 días de plazo
8.000 € a 92 días de plazo
10.000 € a 72 días de plazo
Si desea cancelar esas deudas con un único pago de 28.000 €, ¿cuál deberá ser el plazo para ese documento?
Respuesta: 67 días
24. Una deuda de 500.000 € se cancela mediante tres pagos iguales a los dos, cuatro y seis meses. Determinar el importe de cada pago, sabiendo que la tasa de valuación es del 2 % mensual de interés simple.
Respuesta: 179.835,31
25. Una compañía adquiere materias primas pagando el precio bajo la modalidad «90 días neto», que significa abonar el precio de lista a los 90 días sin ningún descuento. El proveedor ofrece una alternativa que consiste en abonar a los 30 días con una TNA de descuento del 20 %. Para aprovecharla, se estudia la conveniencia de abonarle al proveedor a los 30 días, de acuerdo con las siguientes condiciones:
a. Descuento de documentos de terceros a 60 días. Tasa nominal anual de descuento: 20 %. La entidad financiera exige mantener un saldo de apoyo en cuenta corriente equivalente al 2 % (tasa efectiva para 60 días) del valor nominal descontado.
b. Venta de documentos a una compañía financiera al 18 % nominal anual de descuento a 60 días; además, se cobra sobre el valor nominal una comisión del 3 %, gastos administrativos del 2 % y sellado del 1 %. Todos los gastos, comisiones e impuestos se abonan por adelantado.
c. Utilización de adelanto en cuenta corriente renovable cada 15 días; la tasa nominal anual de interés es del 25 %.
Se solicita determinar cuál es la alternativa más conveniente para la compañía.
Respuesta: alternativa c, con un coste financiero del 4,11 %
2.8 Respuesta a las preguntas
1. a
2. a, b, d y e
3. a. constante/decrecientes
b. constante/crecientes
c. máximo/es igual al inverso del número de períodos que tiene la operación
4. b
5. En la expresión i = d / (1-d.n) la tasa efectiva de descuento es d.n, donde d es la tasa nominal de la operación, pues el descuento se realiza por n períodos. A la inversa, en la expresión d = i / (1+i.n), la tasa efectiva de interés es i.n, pues habría que colocar el valor presente recibido durante n períodos a la tasa i para reconstruir el capital de la operación. En ese caso, i es una tasa nominal. Cuando n = 1, entonces tanto d como i son tasas efectivas en las fórmulas de equivalencia.
6. Al retirar su dinero periódicamente, no permite que se capitalicen los intereses.
7. El descuento comercial analiza el descuento asumiendo que este se practica sobre el capital que debe devolverse; el descuento racional asume que el descuento se practica sobre el valor recibido en préstamo.
8. El vencimiento medio siempre cae entre los vencimientos de los documentos que reemplaza, pues: a) nunca puede caer en el extremo inferior de vencimientos pues el valor presente de los documentos que se reemplazan sería menor que la suma de los documentos, y b) nunca podría caer en el extremos superior de vencimientos pues los valores capitalizados serían mayores a la suma de los valores nominales de los documentos. Se inclinará el vencimiento medio más a un vencimiento u otro, dependiendo de a) los valores nominales de los documentos, y b) la tasa de interés.
9. a
10. b
2.9 Resolución de los problemas
1. Es un ejercicio sencillo de interés simple, donde se deposita un capital a una tasa de interés efectiva mensual. En los mercados financieros, se sobreentiende siempre que una tasa mensual siempre se refiere a un mes de 30 días. Aplicando la fórmula del monto a interés simple, tenemos:
Co(1 + in) = 100.000 (1 + 0,005 × 1) = 100.500
Observe que el número de períodos de la operación es igual a uno, ya que se supone que estamos realizando un depósito por «un período», que en este caso es un mes. Cuando el período de la operación es «1», la tasa nominal y la efectiva son exactamente iguales. También se observa que la tasa de interés aparece expresada en «tanto por uno» (0,5 / 100 = 0,005), que es lo que se hace siempre en las operaciones de matemática financiera.
2. I(0,n) = C0in = 100.000 × 0,005 × 1 = 500
3.
4. En este caso, como el dato disponible es el interés acumulado, despejamos el capital inicial de la fórmula para I(0,n):
5. Para saber el porcentaje de descenso en dólares, dividimos el precio nuevo por el precio viejo, siempre en dólares, y restamos el 1:
Note que el cociente entre 310 y 400 nos dice qué porcentaje representa 310 de 400 (77,5 %); al restar el 1, nos da el porcentaje en que debe descender 400 para transformarse en 310. Otra forma de razonar esto es asimilar el descenso del precio a una tasa de descuento:
La fórmula anterior resulta de despejar la tasa de descuento de la fórmula del valor presente con descuento comercial C0 = Cn (1 – dn), ya que el porcentaje de descenso puede asimilarse a un descuento. Ahora bien, como aumentó la cotización del dólar, el juego cuesta en pesos 310 × 2,95 = 914,50. Para saber el incremento porcentual en pesos, dividimos el nuevo precio en pesos por el viejo precio en pesos:
6.