Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

велика, то популяция ниже пропускной способности окружающей среды может за один временной шаг своего развития временно вырасти настолько, что превысит пропускную способность. Как только численность превышает пропускную способность, популяция вымирает достаточно быстро, чтобы к следующему шагу она снова оказалась ниже пропускной способности окружающей среды. Но затем её численность снова вырастет настолько, чтобы превзойти критическое значение. Как будто популяция перенастраивается и адаптируется заново на каждом временном интервале.

Если параметр

логистической модели окажется больше только что рассмотренных значений, то популяция не приблизится к равновесию. Когда

. Отсюда возникает интересный вопрос, каковы возможности модели с двумя неустойчивыми равновесиями и без устойчивых. Какое поведение тогда можно ожидать в долгосрочной перспективе?

Компьютерный эксперимент показывает, что для значений

чуть больше 2 популяция попадает в 2-цикл, её численность бесконечно прыгает взад и вперед между значением выше 1 и значением ниже 1. По мере дальнейшего увеличения

значения в 2-цикле меняются, но наличие 2-цикла сохраняется до тех пор, пока не достигнем другого значения

, при котором происходит еще одно внезапное качественное изменение. На этот раз видим, что 2-цикл становится 4-циклом. Дальнейшее увеличение

производит 8-циклы, затем 16-циклы и так далее.

Эта модель приводит к неожиданному, но интересному выводу: одна и та же популяция может демонстрировать разные циклы в своей численности, даже когда окружающая среда совершенно неизменна. Считая, что теоретические предположения в построении математической модели были верны и популяция имеет достаточно большое значение

, на практике она может никогда не достигать ни одного из теоретически существующих равновесных значений.

Хороший способ понять влияние изменения параметра

на рассматриваемую модель заключается в изображении диаграммы бифуркации на рисунке 1.6. В Maple это изображение легко получить следующей серией команд:

with(IterativeMaps):with(ImageTools):

Logistic := Bifurcation([x], [x + r*x*(1 – x)], [0.99], 1.5, 3):

ArrayTools:-Dimensions(Logistic)

ColouringProcedures:-HueToRGB(Logistic):Embed(Logistic)

Рисунок 1.6. Бифуркационная диаграмма логистической модели

, а по вертикальной снизу вверх отложены циклические аттракторы значений соответствующей популяции.

Рисунок 1.6 получен следующим образом. Для каждого значения

на горизонтальной оси выбирается некоторое значение

и выполняется итерация модели на несколько временных шагов, чтобы пройти этап переходного процесса, например, раз 200. На практике это означает повторение итераций столько раз, пока не надоест. Затем продолжаются итерации на серии дополнительных

Скачать книгу