Фундаментальная радиохимия. Николай Дмитриевич Бетенеков
то эту сумму можно заменить эквивалентным интегралом, полагая N непрерывной функцией от t (как и было принято выше).
Число атомов, распадающихся в промежуток времени между t и t + dt, равно λNdt =λNoe – λtdt. Эти атомы имеют продолжительность жизни t. Следовательно, общая продолжительность жизни всех атомов данной группы будет равна t λ N0 e – λtdt.
Суммарную продолжительность жизни (τ) всех N0 атомов можно получить, проинтегрировав полученное выражение по t в пределах от 0 до ∞
и поделив его на N0:
откуда следует, что τ = T1/e = 1/λ .
Таким образом, используя соотношения (1.10), (1.13) – (1.15), можно разносторонне интерпретировать физический смысл λ :
Из последнего равенства (λ = A/N) следует, что λ можно истолковать как меру, определяющую число актов распада, в единицу времени приходящееся на один атом (атомное ядро) в среднем. Эта мера и есть вероятность распада в единицу времени в собрании N атомов (ядер) в расчете на один атом (ядро).
Отсюда видно, что размерность величины λ – обратные секунды (с – 1). Табулируют значения констант радиоактивного распада обычно в этих единицах, но гораздо чаще прибегают к понятию «период полураспада» как к интуитивно более понятной величине. При этом выражают его в привычных и обозримых единицах, – от долей секунды до нескольких миллиардов и более лет.
Статистическое обоснование закона радиоактивного распада было предложено Э. Фон Швейдлером в 1905 году. Как только что было выявлено, каждое радиоактивное ядро имеет определенную вероятность распада, а константа λ и есть величина вероятности этого события. Можно показать, что из такого толкования радиоактивности непосредственно следует эмпирически установленный Резерфордом и Содди экспоненциальный закон распада.
Допустим, что вероятность испытать распад в течение некоторого промежутка времени Δt для всех ядер данного радионуклида равна величине wΔt, которая пропорциональна только этому промежутку времени Δt, т.е. wΔt = kΔt, где k – коэффициент пропорциональности. Вероятность же пережить этот промежуток времени (т.е. не распасться), как вероятность противоположного события, будет равна 1 – wΔt = 1 – kΔt. Вероятность
Прологарифмируем это равенство: lnwt1 = hln(1 – kΔt).
Пусть при постоянном значении t1 = hΔt Δt стремится к 0. Тогда, полагая слагаемое kΔt величиной, пренебрежимо малой по сравнению с единицей, разлагая в ряд ln(1–kΔt) по малому параметру и ограничиваясь линейным членом разложения, получим:
lnwt1 = – hkΔt = – kt1.
Потенцируя это выражение и полагая, что в силу произвольности выбора отрезка времени t1 индекс «1» не имеет значения, получим:
wt