Фундаментальная радиохимия. Николай Дмитриевич Бетенеков
изотоп. Будем индексами "1" и "2" помечать параметры и переменные, относящиеся соответственно к "материнскому" и "дочернему" радионуклидам. При этих условиях эволюция "генетической пары" представляет собой вариант классической "бассейновой" задачи: "Прирост числа атомов дочернего радионуклида в единицу времени равен разности скоростей актов распада материнского и дочернего радионуклидов, поскольку скорость распада материнского радионуклида равна скорости возникновения дочернего":
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка можно решить, например, методом Лагранжа (метод вариации постоянной). В результате при наложении условия, что при t = 0 N02 = 0 решение (1.18) будет иметь вид:
Графически эволюция "генетической пары" изображена на рис.1.1.
Рис.1.1. Изменение активности при Т1 >Т2 (примем условно Т1=10Т2): 1 – суммарная активность; 2 – активность дочернего радионуклида; 3 – активность материнского радионуклида.
Важной особенностью взаиморасположения графиков является совпадение точки максимума активности (числа атомов) дочернего радионуклида и точки пересечения графиков A1(t) и A2(t) (так же и временных зависимостей N1 и N2). В этом можно убедиться, решив соответствующие уравнения: dA2/dt=0 и A1=A2 откуда момент времени (tmax), соответствующий этой точке, определяется следующим образом:
Это состояние в эволюции "генетической пары" достигается только при условии λ2 > λ1. В случае λ2< λ1 равновесие в любом смысле слова отсутствует, но соотношение (1.20) остается справедливым. Обозначим λ2 – λ1 = Δ λ и преобразуем (1.11) следующим образом:
По истечению некоторого времени вследствие монотонного убывания экспоненты можно сделать упрощение 1-е-Δ λt H1, приняв заранее определенный уровень погрешности. Но для абсолютного большинства практически интересных случаев можно условно допустить, что этот момент времени совпадает с tmax (см.(1.20)). После упомянутого упрощения соотношения (1.21) приобретают вид:
т.е. отношение чисел атомов дочернего и материнского радионуклидов, равно как и значений их абсолютной активности, перестает зависеть от времени, inv (t), в то время как сами значения N1 , N2,, A1 и A2 продолжают явным образом зависеть от времени.
Таким образом, для "генетической пары" необходимым и достаточным условием наступления подвижного равновесия является неравенство λ2 > λ1 (или, что то же самое, T2 < T1). Это равновесие наступает не раньше прохождения дочерней активности через максимум и заключается в том, что осуществляются соотношения (1.22). Таким образом, рис.1.1 отражает изменение активности для генетически связанной пары радионуклидов для случая подвижного равновесия.
Примем более жесткое условие неравенства: λ2