Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

      (16) Demostrar que ∀n ∈ : n(n + 1)(n + 2). ··· .(n + p − 1) es divisible por p.

      (17) Demostrar que ∀n ∈ a − b es factor de a²ⁿ − b²ⁿ.

      (18) Demostrar que ∀n ∈ a + b es factor de a²ⁿ⁻¹ + b²ⁿ⁻¹.

      (19) Demostrar que ∀n ∈ : 5n³ + 7n es divisible por 6.

      (20) Demostrar que ∀n ∈ : 2⁴ⁿ − 1 es divisible por15.

      (21) Demostrar que ∀n ∈ : 2^{2n + 1} − 9n² + 3ⁿ − 2 es divisible por 54.

      (22) Demostrar que ∀n ∈ : 7²ⁿ − 48n − 1 es divisible por 2304.

      (23) Demostrar que ∀n ∈ : 5^{2(n + 1)} − 24ⁿ − 25 es divisible por 576.

      (24) Demostrar que ∀n ∈ : n³ + 2n es divisible por 3.

      (25) Demostrar que ∀n ∈ : Si h > −1, entonces (1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh.

      (26) Demostrar que ∀n ∈ : 10ⁿ + 3 · 4^{n + 2} + 5 es divisible por 9.

      (27) Demostrar que:

      ∀n ∈ : sen (θ + nπ) = (−1)ⁿsen θ.

      (28) Demostrar que:

      ∀n ∈ : cos(θ + nπ) = (−1)ⁿ cosθ.

      (29) Demostrar que:

      ∀n ∈ : 2n ≤ 2ⁿ.

      (30) Demostrar que:

      ∀n ∈ : 2ⁿ⁻¹ ≤ n!.

      (31) Demostrar que un conjunto de n elementos tiene 2ⁿ subconjuntos.

      (32) Sabiendo que:

      demostrar que:

      (33) Se sabe que a₀ = 0, a₁ = 1 y que para n ≥ 2 se tiene:

      an = 2(cos t)a_n−1 − a_n−2,

      demostrar que:

      (34) Al intentar demostrar por inducción las siguientes proposiciones:

      (i) ∀n ∈ (4 + 8 + 12 + · ·· + 4n = 3ⁿ² − n + 2).

      (ii) ∀n ∈ (2 + 4 + 6 + · + 2n = n² + n + 2).

      (iii) ∀n ∈ , la fórmula p(n) = n² − n + 41 proporciona solamente números primos.

      El método falla en alguna de sus partes. Señalar dónde se produce el problema.

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