Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

Álgebra clásica

Álgebra clásica - Gonzalo Masjuán Torres

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      sumando miembro a miembro estas dos igualdades y factorizando adecuadamente, se obtiene:

      13 + 23 + 33 + ··· + n3 = .

       Nota:

      En el problema siguiente, haremos ver que esta fórmula es válida para todo número natural.

      Problema 1.3.6 Demostrar que:

      ∀n ∈ [13 + 23 + 33 + ··· + n3 = .

       Solución:

      A causa de la similitud con los problemas anteriores, la demostración queda a cargo del lector.

      Problema 1.3.7 Demostrar que:

       Solución:

      Para n = 1 es evidente, pues:

      1 = 12.

      Suponemos el resultado válido hasta n, o sea:

      1 + 3 + 5 + ··· + (2n − 1) = n2.

      Ahora deberemos probarlo para (n + 1), es decir:

      1 + 3 + 5 + ··· + (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)2.

      En efecto, se tiene:

      1 + 3 + 5 + ··· + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2.

      Problema 1.3.8 Demostrar que:

      ∀n ∈ [(x − y) es divisor de (xn − yn)].

       Solución:

      Para n = 1 es evidente, puesto que x − y es factor de x − y. Suponemos ahora que x − y es divisor de xn − yn; deberemos establecer que x − y es divisor de xn + 1 − yn + 1.

      Si a xn + 1 − yn + 1 le restamos y sumamos xyn, conseguiremos:

      xn + 1 − yn + 1 = xn + 1 − xyn + xyn − yn + 1 = x(xn − yn) + yn(x − y).

      Como cada término de esta última expresión es divisible por x − y, también lo es xn + 1 − yn + 1, lo que demuestra lo pedido.

      Problema 1.3.9 Si a1 = a2 = 1 y an + 1 = 3an + an−1 (n ≥ 2), entonces an y an + 1 son primos relativos.

       Solución:

      Vemos que a1 y a2 son primos relativos. Aceptemos la propiedad hasta n y supongamos que an y an + 1 no son primos relativos, o sea, existe el máximo común divisor entre an y an−1 y es MCD[an, an + 1] = d ≠ 1, es decir, an + 1 = pd y an = qd y como an + 1 = 3an + an−1 resulta pd = 3qd + an−1, luego an−1 = (p − 3q)d, MCD[an, an−1]= d ≠ 1, lo que es una contradicción, puesto que

      hemos aceptado que estos últimos son primos relativos.

      Problema 1.3.10 Sea n ∈ , se considera yn = (3 + )n + (3 − )n. Demostrar que:

      (1) yn + 1 = 6yn − 4yn−1.

      (2) yn es entero.

      (3) El siguiente entero mayor que (3 + )n es divisible por 2n.

       Solución:

       Para (1)

       Para (2)

      y1 = (3 + ) + (3 − ) = 6 es entero.

      y2 = (3 + )2 + (3 − )2 = 2(9 + 5) = 28 es entero.

      Supongamos que y1, y2, ·· · , yn son enteros; pues bien, como yn + 1 = 6yn −4yn−1 se sigue que yn + 1 es entero.

       Para (3)

      Si n = 1 el siguiente entero mayor que (3 + ) es 6, que es divisible por 21 = 2. Si n = 2, el siguiente entero mayor que (3 + )2 es 28, que es divisible por 22 = 4. Ahora como (3 − )n es decimal (o sea ∈]0, 1[), se deduce que yn es el siguiente entero mayor que (3 + )n. Si yn es divisible por 2n e yn - 1 es divisible por 2n−1, entonces por (1) se tendrá yn + 1 = 6yn − 4yn - 1 = 6 · 2np − 4 · 2n−1q = 2n + 1(3p − q).

      Problema 1.3.11 Si a1 = −5, a2 = −26 y

      ∀n ≥ 3 : an = 5an−1 − 6an−2 + 5 · 2n−2,

       entonces:

      ∀n ∈ : an = 3 · 2n − 2 · 3n − 5 · n · 2n−1.

       Solución:

      En este caso se tiene:

      a1 = 3 · 2 − 2 · 3 − 5 · 1 · 20 = −5,

      y también:

      a2 = 3 · 22

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