Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

Álgebra clásica

los enteros , los racionales , los irracionales — , o sea partimos del conjunto universo y fuimos consiguiendo subconjuntos de hasta obtener . La pregunta que se plantea es: ¿Se podra proceder al reves, es decir, partir de y llegar a ? Este camino es posible, pero requiere de una mayor conceptualizaciúon.

1.1 Conjuntos inductivos

Definición 1.1.1 Sea A un conjunto de números reales, entonces:

A es inductivo (1 ∈ A ∧ ∀x ∈ (x ∈ A → (x + 1) ∈ A)).

Notas:

Hacemos ver que si A es inductivo, entonces 1 ∈ A, (1 + 1) = 2 ∈ A, tambien 2 + 1 = 3 ∈ A, etc.

Algunos ejemplos de conjuntos inductivos son , ⁺, {x | x ≥ 1}, , , etc.

Como ejemplos de conjuntos no inductivos tenemos ⁻, [ − 3, 8, ( − 13, 81], {x | x ≤ 1}, etc.

Definición 1.1.2 El conjunto de los números naturales se define como:

= {x ∈ | para todo conjunto A inductivo; x ∈ A}.

Nota:

La definición anterior nos dice que es el menor conjunto de números reales que es inductivo.

Haremos ver que contiene exactamente a los números:

1, 2, 3, 4, ⋯ , n, (n + 1), ⋯

Por tal motivo deberemos entregar la definición de función sucesor.

Definición 1.1.3 La función sucesor s : → se define por s(x) = x + 1.

El objetivo principal al entregar la definición anterior es para que el teorema que viene a continuacion quede bien expresado.

Teorema 1.1.1 Se tiene:

(1) ∈ .

(2) ∀n ∈ (s(n) ∈ ).

(3) ∀n ∈ (n > 0).

(4) ∀n ∈ (s(n) ≠ 1).

(5) ∀n ∈ ∀m ∈ (s(n) = s(m) → n = m).

(6) ∀n ∈ (n = 1 ∨ ∃m ∈ (s(m) = n)).

Demostración:

Sólo entregaremos la demostración de (3). Pues bien, sea A = {n ∈ | n > 0}, haremos ver que A es inductivo.

En primer lugar, 1 ∈ A, pues sabemos que 1 > 0, esto es a causa de la axiomática de que (, +, ·, ≤) es campo ordenado. Por otra parte, sea n ∈ A, entonces n ∈ y n > 0, luego (n + 1) ∈ y como n + 1 > 1 > 0 se concluye que (n + 1) ∈ A.

Por lo tanto, tenemos que A es inductivo, en consecuencia, resulta ⊆ A, o sea, ∀n ∈ (n > 0).

Nota:

El esquema que se utilizó en la demostración anterior es el siguiente:

(1) Se construye el conjunto A = {n ∈ | n satisface la propiedad p}, lo que simbolizamos mediante A = {n ∈ | p(n)}.

(2) Se demuestra que el conjunto A definido en (1) es inductivo, es decir:

(2.1) 1 ∈ A, lo que es equivalente a demostrar que 1 tiene la propiedad p, es decir p(1).

(2.2) n ∈ A s(n) ∈ A, o sea si n ∈ A, entonces p(n) → p(n + 1).

(2.3) Se concluye que ⊆ A, o sea, ∀n ∈ (p(n).

El esquema anterior es lo que se conoce como Primer principio de inducción matemática, este principio nos entrega un metodo para demostrar cualquier propiedad p(n) para todos los números naturales.

1.2 Principios de

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