Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres
Sea p(n) una formula en n, entonces:
[p(1) ∧ ∀n ∈
Nota:
Tenemos:
2 + 4 + 6 + ⋯ 2n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n),
ahora bien, veremos en el problema resuelto [1.3.2] que:
1 + 2 + 3 + ⋯ + n =
con lo que:
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n) = 2 ·
sin embargo, si consideramos la proposición falsa:
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n = n2 + n + 1,
como verdadera para n, sumando (2n + 2) a cada lado de ésta, se cumple que:
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n + (2n + 2) = n2 + n + 1 + (2n + 2) =
= n2 + 2n + 1 + n + 1 + 1 = (n + 1)2 + (n + 1) + 1,
vemos que se satisface la hipótesis inductiva. No se puede tener la igualdad para un primer n, por ejemplo, para 1, 2, etc.
Al no cumplirse para n = 1, 2, 3, · · · no podemos concluir que es falsa, pues podría ser verdadera por ejemplo para n = 2789341.
Nota:
El siguiente resultado es equivalente con el primer principio de inducción y proposición el metodo para resolver aquellos casos en que se desea demostrar inductivamente una propiedad p(n) no necesariamente para todo natural n, sino que para aquellos n mayores o iguales a algún natural a.
Teorema 1.2.1 Sea n0 ∈
[p(n0) ∧ ∀n ∈
Demostración:
Si n0 = 1 se tiene el primer principio de induccion y el teorema es cierto. Consideremos, entonces para n0 ∈
I1 = {n ∈
Haremos ver que I1 es un conjunto inductivo.
En primer lugar, tenemos que 1 ∈ I1 puesto que:
(i) Si 1 ≥ n0 , entonces n0 = 1 y, por hipótesis, se tiene que p(n0 ) es verdad, luego, p(1) es verdadero y 1 ∈ I1.
(ii) Si 1
Tomemos ahora n ∈ I1, entonces n ∈
(i) Si n ≥ n0, entonces n + 1 ≥ n0 + 1, luego n ∈ I1 y n ≥ n0, entonces p(n) es verdad y, por la hipótesis del teorema, p(n + 1) es verdad, por lo tanto, (n + 1 ≥ n0 → p(n + 1)). Luego (n + 1) ∈ I1.
(ii) Si n
(a) Si (n + 1) = n0, entonces como p(n0) es verdad por hipótesis se tendrá que (n + 1) ∈ I1.
(b) Si (n + 1) < n0, entonces (n + 1 ≥ n0 → p(n + 1) es verdad porque su antecedente es falso, por lo tanto, (n + 1) ∈ I1.
Hemos demostrado que I1 es un conjunto inductivo con lo que
1.2.2 Segundo principio de inducción
El enunciado de este principio es el siguiente:
Sea p(n) una fórmula en n y n0 ∈
(i)
[p(n0) ∧ ∀n ∈
↓
∀n ∈
(ii)
[p(1) ∧ ∀n ∈
Nota:
Es claro que (ii) es un caso particular de (i).
1.2.3 Otros conceptos
A causa de lo que estudiaremos con posterioridad, es necesario entregar algunas definiciones inductivas; éstas son:
Definición 1.2.1 Sea n ∈
1!