Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

      Problema 1.3.18 Sean a₁, a₂, ··· , an ∈ + , no todos iguales a 1 y tales que a₁ · a₂ · ·· an = 1, entonces:

      ∀n ∈ (a₁ + a₂ + ··· + an > n).

       Solución:

      Ocuparemos el principio de inducción.

      Sean a₁, a₂ ∈ ⁺ , no ambos iguales a 1 y tales que a₁ · a₂ = 1. Como uno de ellos no es 1, no se pierde generalidad al suponer a₁ ≠ 1 y como a₂ = , se tiene tambien a₂ ≠ 1. Como ambos son positivos, uno de ellos es mayor que 1 y el otro menor que 1; puesto que si ambos fueren menores que 1, su producto sería menor que 1 (el argumento es similar, si ambos fueran mayores que 1). Supongamos entonces que a₁ < 1 y a₂ > 1, luego:

      a₂ − 1 > 0 y 1 − a₁ > 0,

      por lo tanto, se consigue:

      (a₂ − 1)(1 − a₁) > 0,

      con lo que:

      a₂ + a₁ − 1 − a₁ · a₂ > 0, (1.10)

      es decir:

      a₁ + a₂ > 1 + a₁ · a₂ = 2.

      Supongamos ahora que la proposición es verdadera para cualquier colección de n números reales positivos.

      Sean a₁, a₂, ··· , an, an _{+ 1} ∈ ⁺, (n + 1) números que cumplen con las hipótesis de la proposición, queremos demostrar que:

      a₁ + a₂ + ··· + an + an _{+ 1} > n + 1 .

      Como no todos ellos son iguales a 1 y el producto de todos ellos es 1, debe haber alguno mayor que 1 y otro menor que 1. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer a₁ < 1 y a₂ > 1 y sea a = a₁ · a₂.

      Ahora tomemos los n números reales positivos:

      a, a₃, a₄, ··· , an, an _{+ 1},

      Si todos ellos fueran iguales a 1 tendríamos:

      a + a₃ + a₄ + ··· + an + an _{+ 1} = n,

      pero, por (1.10):

      a = a₁ · a₂ < a₁ + a₂ − 1,

      luego:

      n = a + a₃ + a₄ + ··· + an + an _{+ 1} < a₁ + a₂ − 1 + ··· + an + an _{+ 1} ,

      y, por lo tanto, resulta:

      a₁ + a₂ + ··· + an + an _{+ 1} > n + 1 .

      Si este no es el caso, entonces no todos son iguales a 1 y por hipótesis inductiva se tendría que:

      a + a₃ + a₄ + ··· + an + an _{+ 1} > n,

      y, al usar nuevamente (1.10), se llega a que:

      a₁ + a₂ + ··· + an + an _{+ 1} > n + 1.

      Con lo que el problema queda resuelto.

      Definición 1.3.1 (1) Sean a₁, a₂, ··· , an ∈ se define el medio aritmético entre ellos como:

      (2) Sean a₁, a₂, ··· , an ∈ ⁺ se define el medio geométrico entre ellos como:

      (3) Sean a₁, a₂, ··· , an ∈ − {0} se define el medio armónico entre ellos como:

      Problema 1.3.19 Sean a₁, a₂, · ·· , an ∈ ⁺, entonces:

       Solución:

      Si a₁, a₂, ··· , an ∈ ⁺ son todos iguales la respuesta es evidente, pues los medios serán iguales. Entonces nos pondremos en el caso en que no todos son iguales entre sí.

      Sea bk = para k = 1, 2, 3, ··· , n. Como g y ak son positivos resulta bk positivo, además no todos son iguales entre sí porque los ak no lo son, luego, en particular, no pueden ser todos iguales a 1. Por otro lado:

      en

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